kaoyan1advanced 高等数学 第55题
📝 题目
### 第55题
已知 $f(x)$ 是微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的特解，则积分 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
建设谷题时问
体佔
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：解微分方程$x f'(x)-f(x)=\sqrt{2x-x^2}$，化为$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=\frac{\sqrt{2x-x^2}}{x^2}$。 步骤2：积分得$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\int \frac{\sqrt{2x-x^2}}{x^2}dx$，令$x=1+\sin t$，计算得$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\arcsin(x-1)-\frac{\sqrt{2x-x^2}}{x}+C$。 步骤3：由$f(1)=0$得$\displaystyle C=\frac{\pi}{2}$，故$\displaystyle f(x)=x\arcsin(x-1)-\sqrt{2x-x^2}+\frac{\pi}{2}x$。 步骤4：$\int_0^1 f(x)dx$，计算得$\displaystyle \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。