kaoyan1advanced 高等数学 第54题
📝 题目
### 第54题
设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x<1, \\ 2 x, & 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array} S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi x}{2}\right.$ ，其中 $\displaystyle b_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \sin \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x$ ，则 $S(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{3}{2}$ **解析**： 步骤1：$S(x)$是$f(x)$在$[0,2]$上正弦级数，奇延拓到$[-2,2]$，周期为4。 步骤2：$S(-1)$对应奇延拓后$x=-1$的值，奇函数性质$S(-1)=-S(1)$。 步骤3：$f(1)=2$，但$x=1$为间断点，$S(1)$收敛于$\displaystyle \frac{f(1^-)+f(1^+)}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，故$\displaystyle S(-1)=-\frac{3}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定级数类型与延拓方式
由 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\frac{n\pi x}{2}$ 且 $b_n=\int_0^2 f(x)\sin\frac{n\pi x}{2}dx$ 可知，$S(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的正弦级数。正弦级数对应奇延拓，将 $f(x)$ 奇延拓到 $[-2,2]$，再以周期 $T=4$ 周期延拓到整个实数轴。
提示：注意正弦级数对应奇延拓，周期为4
步骤 2/4
目标：利用奇函数性质简化求值
由于奇延拓后的函数是奇函数，有 $S(-x) = -S(x)$。因此 $S(-1) = -S(1)$。
公式：$$S(-x) = -S(x)$$
提示：注意奇函数定义域对称性
步骤 3/4
目标：判断间断点并计算傅里叶级数收敛值
原函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有跳跃间断点：左极限 $f(1^-)=1$，右极限 $f(1^+)=2$。根据傅里叶级数收敛定理，在间断点处正弦级数收敛于左右极限的平均值：$S(1)=\frac{f(1^-)+f(1^+)}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$。
公式：$$S(1)=\frac{f(1^-)+f(1^+)}{2}$$
提示：注意左右极限值计算正确
步骤 4/4
目标：得出最终答案
由 $S(-1) = -S(1) = -\frac{3}{2}$。
提示：注意S(-1)与S(1)的关系
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