kaoyan1advanced 高等数学 第57题
📝 题目
### 第57题
$\displaystyle \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$
建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：$x=y^2+Cy$ **解析**： 步骤1：将方程改写为$\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{x+y^2}{y}=\frac{x}{y}+y$，即$\displaystyle \frac{dx}{dy}-\frac{1}{y}x=y$。 步骤2：一阶线性微分方程，通解$\displaystyle x=e^{\int\frac{1}{y}dy}\left(\int y e^{-\int\frac{1}{y}dy}dy+C\right)=y\left(\int y\cdot\frac{1}{y}dy+C\right)=y(y+C)=y^2+Cy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将方程改写为关于x的微分方程
原方程为 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y^2}$，取倒数得 $\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{x + y^2}{y} = \frac{x}{y} + y$，即 $\displaystyle \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y$。
公式：$$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y$$
提示：注意取倒数后变量角色互换
步骤 2/5
目标：识别为一阶线性微分方程
方程 $\displaystyle \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y$ 是关于 $x$ 的一阶线性微分方程，其中 $P(y) = -\frac{1}{y}$，$Q(y) = y$。
公式：$$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$$
提示：注意将方程转化为x关于y的形式
步骤 3/5
目标：求积分因子
积分因子 $\mu(y) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$。
公式：$$\mu(y) = e^{\int P(y) dy}$$
提示：注意积分变量是y，不是x
步骤 4/5
目标：应用通解公式
通解为 $x = e^{-\int P(y) dy} \left( \int Q(y) e^{\int P(y) dy} dy + C \right) = y \left( \int y \cdot \frac{1}{y} dy + C \right) = y \left( \int 1 dy + C \right) = y(y + C)$。
公式：$$x = e^{-\int P(y) dy} \left( \int Q(y) e^{\int P(y) dy} dy + C \right)$$
提示：注意将x视为y的函数，正确识别P(y)和Q(y)。
步骤 5/5
目标：化简得最终通解
因此 $x = y^2 + Cy$，其中 $C$ 为任意常数。
公式：$$x = y^2 + Cy$$
提示：注意将x视为y的函数求解
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