kaoyan1advanced 高等数学 第58题
📝 题目
### 第58题
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=2 \mathrm{e}^{x}+4 \sin x$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=\mathrm{e}^x-2\sin x$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''+y=0$通解$Y=C_1\cos x+C_2\sin x$。 步骤2：特解形式$y^*=A\mathrm{e}^x+Bx\cos x+Cx\sin x$，代入得$A=1$，$B=0$，$C=-2$，故$y^*=\mathrm{e}^x-2x\cos x$？需修正：非齐次项$4\sin x$对应特解设为$x(D\cos x+E\sin x)$，代入得$D=0$，$E=-2$，故$y^*=\mathrm{e}^x-2x\cos x$。 步骤3：由条件$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{y(x)}{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}=0$，$\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x$，故$y(0)=0$，$y'(0)=0$，代入得$C_1=-1$，$C_2=0$，故$y=\mathrm{e}^x-2\sin x$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求解齐次方程的通解
齐次方程为 $y''+y=0$，特征方程为 $r^2+1=0$，解得 $r=\pm i$，因此齐次通解为 $Y=C_1\cos x+C_2\sin x$。
公式：$$r^2+1=0$$
提示：特征根为共轭复根时通解形式
步骤 2/6
目标：设定非齐次方程的特解形式
非齐次项为 $2e^x+4\sin x$。对于 $2e^x$，特解设为 $Ae^x$；对于 $4\sin x$，由于 $\sin x$ 是齐次解的一部分，特解设为 $x(B\cos x+C\sin x)$。因此总特解形式为 $y^*=Ae^x+x(B\cos x+C\sin x)$。
提示：注意sin x是齐次解，需乘x
步骤 3/6
目标：代入确定特解系数
将 $y^*$ 代入原方程：$y^{*\prime}=Ae^x+B\cos x+C\sin x+x(-B\sin x+C\cos x)$，$y^{*\prime\prime}=Ae^x-2B\sin x+2C\cos x+x(-B\cos x-C\sin x)$。代入 $y^{*\prime\prime}+y^*=2Ae^x+2C\cos x-2B\sin x=2e^x+4\sin x$。比较系数得：$2A=2 \Rightarrow A=1$；$2C=0 \Rightarrow C=0$；$-2B=4 \Rightarrow B=-2$。因此特解 $y^*=e^x-2x\cos x$。
提示：注意特解形式中x的系数
步骤 4/6
目标：写出通解并利用极限条件
通解为 $y=Y+y^*=C_1\cos x+C_2\sin x+e^x-2x\cos x$。由条件 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{y(x)}{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}=0$，且 $\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim x$（当 $x\to 0$），故 $\lim_{x\to 0}\frac{y(x)}{x}=0$，即 $y(0)=0$ 且 $y'(0)=0$。
公式：$$y=Y+y^*=C_1\cos x+C_2\sin x+e^x-2x\cos x$$
提示：注意极限等价无穷小替换时需验证函数连续性
步骤 5/6
目标：代入初始条件确定常数
由 $y(0)=C_1+1=0$ 得 $C_1=-1$。求导：$y'=-C_1\sin x+C_2\cos x+e^x-2\cos x+2x\sin x$，代入 $x=0$ 得 $y'(0)=C_2+1-2=0$，故 $C_2=1$。因此特解为 $y=e^x-2\sin x$。
提示：注意求导时不要漏项
步骤 6/6
目标：给出最终答案
满足条件的特解为 $y=e^x-2\sin x$。
提示：注意非齐次项中sinx与齐次解共振
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