kaoyan1advanced 高等数学 第59题
📝 题目
### 第59题
设 $y=\left(C_{1}+x\right) \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}$ 是 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=g \mathrm{e}^{c x}$ 的通解，则常数 $a, b, c, g$ 分别是
煡设荅题时间
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💡 答案解析
**答案**：$a=0$，$b=-1$，$c=1$，$g=2$ **解析**： 步骤1：通解形式对应特征根$r=1$（重根）和$r=-1$，特征方程$r^2+ar+b=0$，由根$1$和$-1$得$a=0$，$b=-1$。 步骤2：特解形式$(C_1+x)\mathrm{e}^x$中$x\mathrm{e}^x$项表明$c=1$是特征根且为单根？实际为二重根？通解中$(C_1+x)\mathrm{e}^x$对应二重根$r=1$，但另一根$-1$，故特征根为$1$（二重）和$-1$，矛盾。修正：通解为$(C_1+x)\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}$，特征根$r=1$（二重）和$r=-1$，特征方程$(r-1)^2(r+1)=0$即$r^3-r^2-r+1=0$，但原方程为二阶，故实际特征根为$1$（单根）和$-1$，则$(C_1+x)\mathrm{e}^x$中$x\mathrm{e}^x$表明非齐次项$g\mathrm{e}^{cx}$中$c=1$是单根，故设特解$x\cdot A\mathrm{e}^x$，代入得$A=1$，故$g=2$。 步骤3：综上$a=0$，$b=-1$，$c=1$，$g=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析通解形式，确定特征根
通解为 $y = (C_1 + x) e^{x} + C_2 e^{-x}$。其中 $(C_1 + x)e^{x}$ 对应特征根 $r=1$（且为单根，因为 $x$ 项表明非齐次项 $g e^{cx}$ 中 $c=1$ 是特征根），$C_2 e^{-x}$ 对应特征根 $r=-1$。因此特征根为 $r_1 = 1$（单根）和 $r_2 = -1$。
提示：注意x项表明特征根为单根
步骤 2/5
目标：由特征根求参数 $a$ 和 $b$
特征方程为 $r^2 + a r + b = 0$，根为 $1$ 和 $-1$。由韦达定理：$1 + (-1) = -a$，得 $a = 0$；$1 \times (-1) = b$，得 $b = -1$。
公式：$$r^2 + a r + b = 0$$
提示：注意韦达定理中系数符号
步骤 3/5
目标：确定非齐次项指数 $c$
通解中 $(C_1 + x)e^{x}$ 包含 $x e^{x}$ 项，这是非齐次项 $g e^{cx}$ 引起的特解形式。当 $c$ 等于特征根时，特解需乘以 $x$。这里 $x e^{x}$ 表明 $c=1$ 是特征根（单根），故 $c=1$。
提示：注意特解乘以x的次数对应特征根的重数
步骤 4/5
目标：代入特解求参数 $g$
设非齐次方程 $y'' + a y' + b y = g e^{cx}$ 的特解形式为 $y_p = A x e^{x}$（因为 $c=1$ 是单根）。代入 $a=0, b=-1, c=1$，方程化为 $y'' - y = g e^{x}$。计算 $y_p' = A e^{x} + A x e^{x}$，$y_p'' = 2A e^{x} + A x e^{x}$。代入得：$(2A e^{x} + A x e^{x}) - (A x e^{x}) = 2A e^{x} = g e^{x}$，所以 $2A = g$。由通解形式知 $A=1$（因为 $x e^{x}$ 系数为1），故 $g=2$。
公式：$$y'' - y = g e^{x}$$
提示：注意特解形式中x的系数
步骤 5/5
目标：总结答案
因此常数 $a=0$，$b=-1$，$c=1$，$g=2$。
提示：注意常数项与指数项对应
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