kaoyan1advanced 高等数学 第60题
📝 题目
### 第60题
方程 $y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+4 \cos x$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
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## 选择题
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2}x\mathrm{e}^x-2\cos x$ **解析**： 步骤1：齐次方程$y''-y=0$通解$Y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}$。 步骤2：对$\mathrm{e}^x$，设特解$y_1^*=Ax\mathrm{e}^x$，代入得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$。 步骤3：对$4\cos x$，设特解$y_2^*=B\cos x+C\sin x$，代入得$B=-2$，$C=0$。 步骤4：叠加得通解$\displaystyle y=C_1\mathrm{e}^x+C_2\mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2}x\mathrm{e}^x-2\cos x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求齐次方程的通解
齐次方程为 $y'' - y = 0$，特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，解得 $r = \pm 1$。因此齐次通解为 $Y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$。
公式：$$r^2-1=0$$
提示：注意特征根为±1，通解形式正确
步骤 2/4
目标：求非齐次项 $e^x$ 的特解
由于 $e^x$ 是齐次解的一部分，设特解 $y_1^* = A x e^x$。代入原方程：$y_1^{*\prime\prime} - y_1^* = e^x$。计算得 $y_1^{*\prime} = A e^x + A x e^x$，$y_1^{*\prime\prime} = 2A e^x + A x e^x$。代入得 $(2A e^x + A x e^x) - (A x e^x) = 2A e^x = e^x$，解得 $A = \frac{1}{2}$。所以 $y_1^* = \frac{1}{2} x e^x$。
提示：注意e^x是齐次解，特解需乘x
步骤 3/4
目标：求非齐次项 $4\cos x$ 的特解
设特解 $y_2^* = B \cos x + C \sin x$。代入原方程：$y_2^{*\prime\prime} - y_2^* = 4\cos x$。计算得 $y_2^{*\prime} = -B \sin x + C \cos x$，$y_2^{*\prime\prime} = -B \cos x - C \sin x$。代入得 $(-B \cos x - C \sin x) - (B \cos x + C \sin x) = -2B \cos x - 2C \sin x = 4\cos x$。比较系数得 $-2B = 4$，$-2C = 0$，解得 $B = -2$，$C = 0$。所以 $y_2^* = -2\cos x$。
公式：$$y'' - y = 4\cos x$$
提示：注意特解形式中sin和cos的系数独立求解
步骤 4/4
目标：叠加得通解
原方程的通解为齐次通解与两个特解之和：$y = Y + y_1^* + y_2^* = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{1}{2} x e^x - 2\cos x$。
公式：$$y = Y + y_1^* + y_2^*$$
提示：注意特解形式与系数计算
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