kaoyan1advanced 高等数学 第61题
📝 题目
### 第61题
设定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 与 $x=1$ 均对称，则下列命题中，正确命题为 （1）若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （2）若 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （3） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （4） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数． （A）（2）（3）． （B）（2）（4）． （C）（1）（2）（3）． （D）（1）（2）（4）．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f(x)$关于$x=0$和$x=1$对称，则$f(x)$是偶函数且周期为2。 步骤2：验证（2）：$\int_0^2 f(x)dx=0$，则$\int_0^x f(t)dt$周期为2，正确。 步骤3：验证（4）：$\displaystyle \int_0^x f(t)dt-\frac{x}{2}\int_0^2 f(t)dt$周期为2，正确。 步骤4：（1）和（3）不成立。故选B。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析对称性，推导函数性质
由题意，$f(x)$关于$x=0$对称，即$f(-x)=f(x)$，故$f(x)$为偶函数。又关于$x=1$对称，即$f(1+x)=f(1-x)$。结合偶函数性质，$f(x+2)=f(1+(x+1))=f(1-(x+1))=f(-x)=f(x)$，因此$f(x)$是以$2$为周期的周期函数。
公式：$$f(x+2)=f(x)$$
提示：注意对称性推导周期性
步骤 2/6
目标：验证命题（1）
若$\int_0^1 f(x)dx=0$，考虑$F(x)=\int_0^x f(t)dt$。由于$f$周期为2，$F(x+2)-F(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt=\int_0^2 f(t)dt$。而$\int_0^2 f(t)dt=2\int_0^1 f(t)dt=0$，故$F(x+2)=F(x)$，即$F(x)$周期为2。但$F(x)$不一定周期为1，且条件仅给出$\int_0^1 f=0$，无法保证$\int_0^2 f=0$，因此（1）不一定成立。
公式：$$\int_0^2 f(t)dt = 2\int_0^1 f(t)dt$$
提示：注意周期为2而非1
步骤 3/6
目标：验证命题（2）
若$\int_0^2 f(x)dx=0$，则$F(x+2)-F(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt=\int_0^2 f(t)dt=0$，故$F(x+2)=F(x)$，即$F(x)$是以$2$为周期的周期函数，命题（2）正确。
公式：$$F(x+2)-F(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt=\int_0^2 f(t)dt=0$$
提示：注意对称性导致周期为2
步骤 4/6
目标：验证命题（3）
令$G(x)=\int_0^x f(t)dt - x\int_0^2 f(t)dt$。则$G(x+2)-G(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt - 2\int_0^2 f(t)dt = \int_0^2 f(t)dt - 2\int_0^2 f(t)dt = -\int_0^2 f(t)dt$。除非$\int_0^2 f=0$，否则$G(x)$不是周期函数，而题目未给出此条件，故（3）不一定成立。
公式：$$G(x+2)-G(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt - 2\int_0^2 f(t)dt = \int_0^2 f(t)dt - 2\int_0^2 f(t)dt = -\int_0^2 f(t)dt$$
提示：注意周期函数定义需严格验证
步骤 5/6
目标：验证命题（4）
令$H(x)=\int_0^x f(t)dt - \frac{x}{2}\int_0^2 f(t)dt$。则$H(x+2)-H(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt - \frac{2}{2}\int_0^2 f(t)dt = \int_0^2 f(t)dt - \int_0^2 f(t)dt = 0$，故$H(x+2)=H(x)$，即$H(x)$是以$2$为周期的周期函数，命题（4）正确。
公式：$$H(x+2)-H(x)=\int_x^{x+2}f(t)dt - \int_0^2 f(t)dt = 0$$
提示：注意周期函数定义：H(x+2)=H(x)
步骤 6/6
目标：得出结论
正确命题为（2）和（4），对应选项B。
提示：注意对称性导致周期为2，积分区间平移
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