kaoyan1advanced 高等数学 第12题
📝 题目
### 第12题
已知函数 $y=f(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{y}+6 x y+x^{2}=1$ 所确定，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-2$ **解析**： 步骤1：方程两边对$x$求导：$e^y y' + 6y + 6xy' + 2x = 0$。 步骤2：代入$x=0$，由原方程得$e^y=1$，即$y=0$，则$y'(0)=0$。 步骤3：再求导：$e^y (y')^2 + e^y y'' + 6y' + 6y' + 6xy'' + 2 = 0$，代入$x=0,y=0,y'=0$得$y''(0)+2=0$，故$y''(0)=-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：方程两边对x求导
对原方程 $e^{y}+6xy+x^{2}=1$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，得到：
$$e^{y} \cdot y' + 6y + 6x \cdot y' + 2x = 0$$
公式：$$e^{y} \cdot y' + 6y + 6x \cdot y' + 2x = 0$$
提示：注意y是x的函数，求导时要用链式法则
步骤 2/5
目标：代入x=0求y和y'
当 $x=0$ 时，代入原方程得 $e^{y}=1$，解得 $y=0$。将 $x=0, y=0$ 代入求导后的方程：
$$e^{0} \cdot y'(0) + 6 \cdot 0 + 6 \cdot 0 \cdot y'(0) + 2 \cdot 0 = 0 \Rightarrow y'(0) = 0$$
公式：$$e^{y} + 6xy + x^{2} = 1$$
提示：代入x=0时注意y的求解，隐函数求导后代入值
步骤 3/5
目标：再次求导
对第一步得到的方程 $e^{y} y' + 6y + 6x y' + 2x = 0$ 两边再对 $x$ 求导，注意 $y$ 和 $y'$ 都是 $x$ 的函数，得到：
$$e^{y} (y')^2 + e^{y} y'' + 6y' + 6y' + 6x y'' + 2 = 0$$
即
$$e^{y} (y')^2 + e^{y} y'' + 12y' + 6x y'' + 2 = 0$$
公式：$$e^{y} (y')^2 + e^{y} y'' + 12y' + 6x y'' + 2 = 0$$
提示：注意y和y'都是x的函数，求导时不要漏项
步骤 4/5
目标：代入已知值求y''(0)
将 $x=0, y=0, y'(0)=0$ 代入上式：
$$e^{0} \cdot 0^2 + e^{0} \cdot y''(0) + 12 \cdot 0 + 6 \cdot 0 \cdot y''(0) + 2 = 0$$
即 $y''(0) + 2 = 0$，解得 $y''(0) = -2$。
公式：$$e^{y}y'^2 + e^{y}y'' + 6y + 6xy' + 6xy'' + 2 = 0$$
提示：代入x=0时注意y和y'均为0
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，$f''(0) = -2$。
提示：注意二阶导数的计算顺序
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