kaoyan1advanced 高等数学 第13题
📝 题目
### 第13题
设函数 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-2 f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}-\Delta x\right)}{(\Delta x)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：由拐点定义，$f''(x_0)=0$。 步骤2：由泰勒公式，$\displaystyle f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+\frac{1}{2}f''(\xi_1)(\Delta x)^2$，$\displaystyle f(x_0-\Delta x)=f(x_0)-f'(x_0)\Delta x+\frac{1}{2}f''(\xi_2)(\Delta x)^2$。 步骤3：代入分子得$\displaystyle \frac{1}{2}[f''(\xi_1)+f''(\xi_2)](\Delta x)^2$，除以$(\Delta x)^2$后取极限，由连续性得$\displaystyle \frac{1}{2}[f''(x_0)+f''(x_0)]=f''(x_0)=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用拐点定义
由于点 $(x_0, f(x_0))$ 是曲线 $y = f(x)$ 的拐点，且 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，根据拐点的必要条件，有 $f''(x_0) = 0$。
公式：$$f''(x_0)=0$$
提示：拐点必要条件，但非充分条件
步骤 2/5
目标：应用泰勒公式展开
将 $f(x_0 + \Delta x)$ 和 $f(x_0 - \Delta x)$ 在 $x_0$ 处展开到二阶拉格朗日余项：
$$f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(\xi_1)(\Delta x)^2,$$
$$f(x_0 - \Delta x) = f(x_0) - f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(\xi_2)(\Delta x)^2,$$
其中 $\xi_1$ 介于 $x_0$ 与 $x_0 + \Delta x$ 之间，$\xi_2$ 介于 $x_0$ 与 $x_0 - \Delta x$ 之间。
公式：$$f(x_0 + \Delta x) = f(x_0) + f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(\xi_1)(\Delta x)^2, \quad f(x_0 - \Delta x) = f(x_0) - f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(\xi_2)(\Delta x)^2$$
提示：注意余项中ξ1和ξ2不同
步骤 3/5
目标：代入分子并化简
将上述两式代入分子：
$$f(x_0 + \Delta x) - 2f(x_0) + f(x_0 - \Delta x) = \left[ f(x_0) + f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(\xi_1)(\Delta x)^2 \right] - 2f(x_0) + \left[ f(x_0) - f'(x_0)\Delta x + \frac{1}{2}f''(\xi_2)(\Delta x)^2 \right] = \frac{1}{2} \left[ f''(\xi_1) + f''(\xi_2) \right] (\Delta x)^2.$$
公式：$$f(x_0 + \Delta x) - 2f(x_0) + f(x_0 - \Delta x) = \frac{1}{2} \left[ f''(\xi_1) + f''(\xi_2) \right] (\Delta x)^2$$
提示：注意泰勒展开的余项形式
步骤 4/5
目标：求极限并利用连续性
因此，
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - 2f(x_0) + f(x_0 - \Delta x)}{(\Delta x)^2} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{2} \left[ f''(\xi_1) + f''(\xi_2) \right].$$
当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi_1 \to x_0$，$\xi_2 \to x_0$，由 $f''(x)$ 的连续性得：
$$\lim_{\Delta x \to 0} f''(\xi_1) = f''(x_0), \quad \lim_{\Delta x \to 0} f''(\xi_2) = f''(x_0).$$
所以极限值为 $\frac{1}{2} [f''(x_0) + f''(x_0)] = f''(x_0) = 0$。
公式：$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - 2f(x_0) + f(x_0 - \Delta x)}{(\Delta x)^2} = \frac{1}{2} \left[ f''(\xi_1) + f''(\xi_2) \right]$$
提示：注意拐点处二阶导数为0
步骤 5/5
目标：得出答案
因此，所求极限为 $0$。
提示：拐点处二阶导数为0，但极限可能为0。
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