kaoyan1advanced 高等数学 第174题
📝 题目
### 第174题
设偶函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有二阶连续导数，$f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ ，试证级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛。
祥佔
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：$f(x)$ 为偶函数，$f'(0)=0$。由泰勒公式，$\displaystyle f(x) = f(0) + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = 1 + x^2 + o(x^2)$。 步骤2：则 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right) - 1 = \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$。 步骤3：故 $\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right| \sim \frac{1}{n^2}$，而 $\displaystyle \sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，所以原级数绝对收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用偶函数性质确定一阶导数为零
由于 $f(x)$ 是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$，两边求导得 $-f'(-x)=f'(x)$，令 $x=0$ 可得 $f'(0)=0$。
提示：注意偶函数求导后为奇函数
步骤 2/5
目标：应用泰勒公式展开
由泰勒公式，$f(x)$ 在 $x=0$ 处展开到二阶：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)$。代入 $f(0)=1$，$f'(0)=0$，$f''(0)=2$，得 $f(x)=1+x^2+o(x^2)$。
公式：$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+o(x^2)$$
提示：注意偶函数f'(0)=0
步骤 3/5
目标：代入 $x=1/n$ 得到通项表达式
令 $x=\frac{1}{n}$，则 $f\left(\frac{1}{n}\right)-1 = \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$。
公式：$$f(x) = f(0) + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$$
提示：注意偶函数一阶导为0，展开到二阶
步骤 4/5
目标：判断通项的等价无穷小
当 $n\to\infty$ 时，$\left|f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right| \sim \frac{1}{n^2}$，即与 $\frac{1}{n^2}$ 为同阶无穷小。
公式：$$\left|f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right| \sim \frac{1}{n^2}$$
提示：注意偶函数性质与泰勒展开的应用
步骤 5/5
目标：利用比较判别法证明绝对收敛
由于 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$ 的 $p$ 级数），由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right|$ 收敛，故原级数绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$
提示：注意p级数收敛条件p>1
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