kaoyan1advanced 高等数学 第173题
📝 题目
### 第173题
设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q\left(a_{n}>0\right)$ ，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 在 $q>1$ 时收敛，在 $q<1$ 时发散．
祥佔
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = q$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$\displaystyle q-\varepsilon < \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} < q+\varepsilon$。 步骤2：即 $n^{-q-\varepsilon} < a_n < n^{-q+\varepsilon}$。 步骤3：当 $q>1$ 时，取 $\varepsilon$ 使 $q-\varepsilon>1$，则 $a_n < n^{-(q-\varepsilon)}$，而 $\sum n^{-(q-\varepsilon)}$ 收敛，故 $\sum a_n$ 收敛。 步骤4：当 $q<1$ 时，取 $\varepsilon$ 使 $q+\varepsilon<1$，则 $a_n > n^{-(q+\varepsilon)}$，而 $\sum n^{-(q+\varepsilon)}$ 发散，故 $\sum a_n$ 发散。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：利用极限定义写出不等式
由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = q$，根据极限定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $\displaystyle q-\varepsilon < \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} < q+\varepsilon$。
公式：$$q-\varepsilon < \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} < q+\varepsilon$$
提示：注意极限定义中ε的任意性
步骤 2/5
目标：步骤2：将不等式转化为 $a_n$ 的界
由于 $\ln n > 0$（当 $n>1$），不等式两边乘以 $\ln n$ 得：$(q-\varepsilon)\ln n < \ln(1/a_n) < (q+\varepsilon)\ln n$，即 $\ln n^{-(q-\varepsilon)} < \ln(1/a_n) < \ln n^{-(q+\varepsilon)}$。取指数（单调递增）得：$n^{-(q-\varepsilon)} < 1/a_n < n^{-(q+\varepsilon)}$，从而 $n^{-q-\varepsilon} < a_n < n^{-q+\varepsilon}$。
公式：$$n^{-q-\varepsilon} < a_n < n^{-q+\varepsilon}$$
提示：注意不等式方向及指数运算
步骤 3/5
目标：步骤3：当 $q>1$ 时证明收敛
取 $\varepsilon$ 满足 $0<\varepsilon1$。由步骤2，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$a_n < n^{-(q-\varepsilon)}$。而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-(q-\varepsilon)}$ 是 $p$ 级数（$p=q-\varepsilon>1$），故收敛。由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
公式：$$a_n < n^{-(q-\varepsilon)}$$
提示：注意ε的选取范围，确保q-ε>1
步骤 4/5
目标：步骤4：当 $q<1$ 时证明发散
取 $\varepsilon$ 满足 $0<\varepsilon<1-q$，则 $q+\varepsilon<1$。由步骤2，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$a_n > n^{-(q+\varepsilon)}$。而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-(q+\varepsilon)}$ 是 $p$ 级数（$p=q+\varepsilon<1$），故发散。由比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} n^{-(q+\varepsilon)} \text{ 是 } p \text{ 级数，} p = q+\varepsilon < 1$$
提示：注意比较判别法方向，需保证不等式方向一致
步骤 5/5
目标：步骤5：结论
综上所述，当 $q>1$ 时级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，当 $q<1$ 时级数发散。
提示：注意q=1时需进一步判断
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