kaoyan1advanced 高等数学 第172题
📝 题目
### 第172题
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足：（1）数列 $\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ 有界；（2）$a_{n}$ 单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。
建衩答题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 祉估
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由条件（1），存在 $M>0$ 使 $\sum_{k=1}^n (a_k - a_n) \le M$，即 $\sum_{k=1}^n a_k - n a_n \le M$。 步骤2：由 $a_n$ 单调递减且趋于0，$a_n \ge 0$。则 $\sum_{k=1}^n a_k \le M + n a_n$。 步骤3：考虑部分和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$，由单调性 $S_{2n} \ge 2n a_{2n}$，且 $S_{2n} \le M + 2n a_{2n}$，故 $S_{2n}$ 有界。 步骤4：对任意 $n$，$S_n \le S_{2n}$，故 $S_n$ 有界，正项级数收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用有界条件得到不等式
由条件（1），存在 $M>0$ 使得对任意 $n$，有 $\sum_{k=1}^n (a_k - a_n) \le M$。展开得 $\sum_{k=1}^n a_k - n a_n \le M$，即 $\sum_{k=1}^n a_k \le M + n a_n$。
公式：$$\sum_{k=1}^n a_k \le M + n a_n$$
提示：注意有界条件需转化为不等式
步骤 2/5
目标：利用单调递减和极限为零得到非负性
由条件（2），$a_n$ 单调递减且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，因此 $a_n \ge 0$ 对所有 $n$ 成立。
提示：单调递减且极限为零确保非负
步骤 3/5
目标：考虑偶数项部分和的有界性
设 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$。由于 $a_n$ 单调递减，有 $S_{2n} \ge 2n \cdot a_{2n}$。由步骤1的不等式，取 $n$ 为 $2n$，得 $S_{2n} \le M + 2n a_{2n}$。结合两个不等式，$2n a_{2n} \le S_{2n} \le M + 2n a_{2n}$，因此 $S_{2n}$ 有界。
提示：注意不等式方向及有界性推导
步骤 4/5
目标：由偶数项部分和的有界性推出所有部分和有界
对任意 $n$，存在 $m$ 使得 $n \le 2m$，由 $a_n$ 非负，$S_n \le S_{2m}$。而 $S_{2m}$ 有界，故 $S_n$ 有界。
提示：注意偶数项部分和有界推出所有部分和有界
步骤 5/5
目标：正项级数收敛的充要条件
正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的部分和数列 $S_n$ 单调递增且有上界，因此收敛。
提示：注意正项级数部分和单调递增
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