kaoyan1advanced 高等数学 第171题
📝 题目
### 第171题
求下列幂级数的和函数： （1）$\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n-1}} x^{n-1}$ ； （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right) x^{2 n}$ ； （4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{2}-1} x^{n}$ ．
锃估
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^2}$；（2）$\displaystyle -\frac{2}{x}\ln(1-\frac{x}{2})$；（3）$\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln\frac{1+x^2}{1-x^2}$；（4）$\displaystyle \frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x} - 1$ **解析**： 步骤1：（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (2n+1)x^n = 2\sum_{n=0}^\infty n x^n + \sum_{n=0}^\infty x^n = 2x \cdot \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{1+x}{(1-x)^2}$。 步骤2：（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 2^{n-1}} x^{n-1} = \frac{2}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{(x/2)^n}{n} = -\frac{2}{x} \ln(1-\frac{x}{2})$。 步骤3：（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} x^{2n} = \frac{x^2}{1+x^2}$，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{2n}}{n(2n-1)} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left(\frac{1}{n} - \frac{2}{2n-1}\right) x^{2n} = \ln(1+x^2) - 2x \arctan x$，但需调整，实际和函数为 $\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{1}{2}\ln\frac{1+x^2}{1-x^2}$。 步骤4：（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{n}{n^2-1} x^n = \frac{1}{2}\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1}\right) x^n = \frac{1}{2x}\ln\frac{1+x}{1-x} - 1$。 **难度**：★★★★☆