kaoyan1advanced 高等数学 第169题

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📝 题目

### 第169题

已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=1$ ，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)$ 条件收敛。

将下列函数在指定点展为幂级数： （1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，在 $x=1$ 处； （2）$f(x)=2^{x}$ ，在 $x=1$ 处； （3）$\displaystyle f(x)=\ln \frac{1}{2+2 x+x^{2}}$ ，在 $x=-1$ 处。

💡 答案解析

**答案**：条件收敛 **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=1$，知 $a_n \sim n$，故 $\displaystyle \frac{1}{a_n} \sim \frac{1}{n}$。 步骤2：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left(\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}\right)$ 的通项 $\displaystyle b_n = (-1)^n \left(\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}\right)$。 步骤3：考虑部分和 $\displaystyle S_{2k} = \sum_{n=1}^{2k} (-1)^n \left(\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}\right)$，相邻项相消得 $\displaystyle S_{2k} = -\frac{1}{a_1} + \frac{(-1)^{2k}}{a_{2k+1}} = -\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{2k+1}}$，当 $k\to\infty$ 时趋于 $\displaystyle -\frac{1}{a_1}$，故级数收敛。 步骤4：绝对值级数 $\displaystyle \sum \left|\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}\right| \sim \sum \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right)$ 发散，故原级数条件收敛。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：步骤1：利用极限条件分析通项渐近行为
由已知条件 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1$，可得 $a_n \sim n$（当 $n \to \infty$ 时），因此 $\displaystyle \frac{1}{a_n} \sim \frac{1}{n}$，$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}} \sim \frac{1}{n+1}$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1 \Rightarrow a_n \sim n$$
提示：注意渐近等价仅用于极限比较，不能直接代入求和
步骤 2/5
目标：步骤2：写出级数通项并考虑部分和
级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right)$ 的通项为 $b_n = (-1)^n \left( \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right)$。考虑部分和 $S_{2k} = \sum_{n=1}^{2k} (-1)^n \left( \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right)$。
公式：$$S_{2k} = \sum_{n=1}^{2k} (-1)^n \left( \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right)$$
提示：注意部分和下标为偶数时的形式
步骤 3/5
目标：步骤3：计算部分和并证明原级数收敛
将 $S_{2k}$ 展开并相邻项相消： $$ \begin{aligned} S_{2k} &= -\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{2k}} + \frac{1}{a_{2k+1}} \\ &= -\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{2k+1}}. \end{aligned} $$ 当 $k \to \infty$ 时，$\frac{1}{a_{2k+1}} \to 0$，故 $\lim_{k \to \infty} S_{2k} = -\frac{1}{a_1}$。类似地，$S_{2k+1} = -\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{2k+2}}$ 也趋于 $-\frac{1}{a_1}$，因此原级数收敛。
公式：$$S_{2k} = -\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_{2k+1}}$$
提示：注意相邻项相消时符号变化
步骤 4/5
目标：步骤4：分析绝对值级数的敛散性
考虑绝对值级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right|$。由步骤1的渐近关系，$\left| \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right| \sim \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \sim \frac{2}{n}$。由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}$ 发散（调和级数），故绝对值级数发散。
公式：$$\left| \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}} \right| \sim \frac{2}{n}$$
提示：注意渐近等价不能直接用于判断敛散性，需结合比较判别法
步骤 5/5
目标：步骤5：得出结论
原级数收敛，但其绝对值级数发散，因此原级数条件收敛。
提示：注意区分条件收敛与绝对收敛

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