kaoyan1advanced 高等数学 第167题
📝 题目
### 第167题
设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+2 x-2 x^{2}}$ ，试证级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 绝对收敛．
讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+(-1)^{n}}}$ 的玫散性，若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+2x-2x^2}$，在 $x=0$ 处展开为幂级数。分母 $1+2x-2x^2 = 1+2x-2x^2$，可写成 $(1-\alpha x)(1-\beta x)$，其中 $\alpha,\beta$ 为方程 $2x^2-2x-1=0$ 的根，即 $\displaystyle \alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$。 步骤2：$\displaystyle f(x) = \frac{1}{(1-\alpha x)(1-\beta x)} = \frac{1}{\alpha-\beta}\left(\frac{\alpha}{1-\alpha x} - \frac{\beta}{1-\beta x}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\sum_{n=0}^\infty (\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}) x^n$。 步骤3：故 $\displaystyle f^{(n)}(0) = \frac{n!}{\sqrt{3}}(\alpha^{n+1} - \beta^{n+1})$，则 $\displaystyle \frac{n!}{f^{(n)}(0)} = \frac{\sqrt{3}}{\alpha^{n+1} - \beta^{n+1}}$。 步骤4：由于 $|\alpha|>1, |\beta|<1$，当 $n$ 大时 $\alpha^{n+1} - \beta^{n+1} \sim \alpha^{n+1}$，故 $\displaystyle \frac{n!}{f^{(n)}(0)} \sim \frac{\sqrt{3}}{\alpha^{n+1}}$，级数 $\displaystyle \sum \frac{1}{\alpha^{n+1}}$ 收敛（公比 $1/|\alpha|<1$），故原级数绝对收敛。 **难度**：★★★★☆