kaoyan1advanced 高等数学 第166题

**答案**：$4\pi$ **解析**： 步骤1：用高斯公式，$\displaystyle P = \frac{1}{x}, Q = \frac{1}{y}, R = \frac{1}{z}$，但 $P,Q,R$ 在原点不连续，需挖去小球。由于 $\Sigma$ 为球面外侧，且被积函数在球面上连续，直接应用高斯公式得 $\displaystyle \iiint_V \left(-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} - \frac{1}{z^2}\right) dV$ 发散，故需用对称性。 步骤2：由对称性，$\displaystyle \oiint_\Sigma \frac{dy dz}{x} = \oiint_\Sigma \frac{dz dx}{y} = \oiint_\Sigma \frac{dx dy}{z}$。 步骤3：计算 $\displaystyle \oiint_\Sigma \frac{dx dy}{z}$，将球面分为上下半球，$z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2}$，外侧法向量对应 $z>0$ 取上侧，$z<0$ 取下侧。 步骤4：$\displaystyle \oiint_\Sigma \frac{dx dy}{z} = \iint_{x^2+y^2\le1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} dxdy - \iint_{x^2+y^2\le1} \frac{1}{-\sqrt{1-x^2-y^2}} dxdy = 2\iint_{x^2+y^2\le1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}} dxdy$。 步骤5：极坐标下 $\displaystyle = 2\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} dr = 4\pi \cdot [-\sqrt{1-r^2}]_0^1 = 4\pi$。 步骤6：故原积分 $\displaystyle = 3 \times \frac{4\pi}{3} = 4\pi$。 **难度**：★★★★☆