📋 详细解题步骤
目标：应用高斯公式，补面构造封闭曲面
由于曲面 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z=1, z=2$ 所截部分的外侧，不封闭，需补上底面圆盘 $\Sigma_1: z=1, x^2+y^2\le 1$（取下侧）和 $\Sigma_2: z=2, x^2+y^2\le 4$（取上侧），使与锥面构成封闭曲面外侧。设 $V$ 为所围区域，即 $1\le z\le 2, \sqrt{x^2+y^2}\le z$。由高斯公式，
$$
\iint_{\Sigma+\Sigma_1+\Sigma_2} y\,dy\,dz - x\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial (-x)}{\partial y} + \frac{\partial (z^2)}{\partial z}\right) dV = \iiint_V (0+0+2z) dV.
$$
因此，
$$
I = \iiint_V 2z\,dV - \iint_{\Sigma_1+\Sigma_2} y\,dy\,dz - x\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy.
$$
公式：$$\iint_{\Sigma+\Sigma_1+\Sigma_2} y\,dy\,dz - x\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy = \iiint_V 2z\,dV$$
提示：注意补面方向与高斯公式的符号
目标：计算三重积分
区域 $V$ 用柱坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z$，其中 $0\le\theta\le 2\pi$，$r$ 从 $0$ 到 $z$，$z$ 从 $1$ 到 $2$。则
$$
\iiint_V 2z\,dV = \int_1^2 \int_0^{2\pi} \int_0^z 2z\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \int_1^2 2z\cdot 2\pi \cdot \frac{z^2}{2}\,dz = 2\pi \int_1^2 z^3\,dz = 2\pi \cdot \left[\frac{z^4}{4}\right]_1^2 = 2\pi \cdot \frac{15}{4} = \frac{15\pi}{2}.$$
所以三重积分部分为 $\frac{15\pi}{2}$。
公式：$$\iiint_V 2z\,dV = \int_1^2 \int_0^{2\pi} \int_0^z 2z\cdot r\,dr\,d\theta\,dz$$
提示：注意柱坐标变换时雅可比行列式为r
目标：计算底面 $\Sigma_1$ 上的曲面积分
$\Sigma_1: z=1, x^2+y^2\le 1$，取下侧，法向量向下。由于 $z$ 为常数，$dz=0$，故 $dy\,dz=0$，$dz\,dx=0$。$dx\,dy$ 在取下侧时，$dx\,dy = -dxdy$（负号来自方向）。被积函数中 $z^2=1$，所以
$$
\iint_{\Sigma_1} y\,dy\,dz - x\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy = \iint_{\Sigma_1} 1\cdot (-dxdy) = -\iint_{x^2+y^2\le 1} 1\,dxdy = -\pi.
$$
公式：$$\iint_{\Sigma} y\,dy\,dz - x\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy = \iint_{\Sigma_1} 1\cdot (-dxdy) = -\iint_{x^2+y^2\le 1} 1\,dxdy = -\pi$$
提示：注意曲面方向对dxdy符号的影响
目标：计算顶面 $\Sigma_2$ 上的曲面积分
$\Sigma_2: z=2, x^2+y^2\le 4$，取上侧，法向量向上。同样 $dz=0$，$dy\,dz=0$，$dz\,dx=0$。$dx\,dy$ 在上侧时，$dx\,dy = dxdy$。被积函数中 $z^2=4$，所以
$$
\iint_{\Sigma_2} y\,dy\,dz - x\,dz\,dx + z^2\,dx\,dy = \iint_{\Sigma_2} 4\,dxdy = 4 \cdot \iint_{x^2+y^2\le 4} 1\,dxdy = 4 \cdot 4\pi = 16\pi.
$$
公式：$$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iint_{D} R\,dx\,dy$$
提示：注意曲面侧与投影符号的关系
目标：得到原积分结果
由高斯公式，
$$
I = \frac{15\pi}{2} - \left[(-\pi) + 16\pi\right] = \frac{15\pi}{2} - 15\pi = -\frac{15\pi}{2}.
$$
因此，所求积分为 $\displaystyle -\frac{15\pi}{2}$。
公式：$$\iint_{\Sigma} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right) dV$$
提示：注意高斯公式的符号方向与曲面定向