kaoyan1advanced 高等数学 第164题

设曲线 $C$ 为圆周 $(x-a)^2+(y-a)^2=r^2$，取逆时针方向。令 $P(x,y) = -\frac{y}{f(x)}$，$Q(x,y) = x f(y)$，则原积分 $\oint_C x f(y) \, dy - \frac{y}{f(x)} \, dx = \oint_C P \, dx + Q \, dy$。由格林公式，$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$，其中 $D$ 为圆盘 $(x-a)^2+(y-a)^2 \le r^2$。计算偏导数：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}[x f(y)] = f(y)$，$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left[-\frac{y}{f(x)}\right] = -\frac{1}{f(x)}$，因此 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = f(y) + \frac{1}{f(x)}$。故原积分 $= \iint_D \left[ f(y) + \frac{1}{f(x)} \right] dxdy$。

由于 $f(x)$ 是连续的正值函数，对任意实数 $x,y$，有 $f(y) > 0$，$\frac{1}{f(x)} > 0$。由均值不等式，对任意正数 $t$，有 $t + \frac{1}{t} \ge 2$，等号当且仅当 $t=1$ 时成立。令 $t = \frac{f(y)}{1/f(x)}?$ 实际上，直接对 $f(y)$ 和 $\frac{1}{f(x)}$ 应用不等式：$f(y) + \frac{1}{f(x)} \ge 2 \sqrt{\frac{f(y)}{f(x)}}$，但此式不能直接得到常数下界。更简单的放缩是：对任意正数 $u$，$u + \frac{1}{u} \ge 2$，取 $u = f(y)$ 或 $u = 1/f(x)$ 均不适用。正确思路：由于 $f(y)$ 和 $1/f(x)$ 均为正，但两者不一定互为倒数，故不能直接使用 $t+1/t \ge 2$。然而，我们可以利用积分区域的对称性或直接使用 $f(y) + \frac{1}{f(x)} \ge 2$ 吗？实际上，对任意正数 $a,b$，有 $a + \frac{1}{b} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b}}$，但无法保证 $\ge 2$。因此，需要更精细的放缩。注意到题目中 $f$ 是正值函数，但未指定具体形式，因此只能利用 $f(y) + \frac{1}{f(x)} \ge 2$ 当且仅当 $f(y)=1$ 且 $f(x)=1$ 时成立，但这不是恒成立。实际上，正确的放缩是：由 $f(y) > 0$，$\frac{1}{f(x)} > 0$，根据均值不等式，$f(y) + \frac{1}{f(x)} \ge 2 \sqrt{\frac{f(y)}{f(x)}}$，但此式不能直接得到常数下界。然而，我们可以利用积分区域的对称性：交换 $x$ 和 $y$ 的角色，或者考虑 $\iint_D f(y) dxdy = \iint_D f(x) dxdy$（因为积分区域关于直线 $y=x$ 对称），从而 $\iint_D \left[ f(y) + \frac{1}{f(x)} \right] dxdy = \iint_D \left[ f(x) + \frac{1}{f(y)} \right] dxdy$，两式相加得 $2 \iint_D \left[ f(y) + \frac{1}{f(x)} \right] dxdy = \iint_D \left[ f(y) + \frac{1}{f(x)} + f(x) + \frac{1}{f(y)} \right] dxdy = \iint_D \left[ \left( f(y) + \frac{1}{f(y)} \right) + \left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) \right] dxdy \ge \iint_D (2+2) dxdy = 4 \pi r^2$，因此 $\iint_D \left[ f(y) + \frac{1}{f(x)} \right] dxdy \ge 2 \pi r^2$。

由步骤2，$\iint_D \left[ f(y) + \frac{1}{f(x)} \right] dxdy \ge \iint_D 2 \, dxdy = 2 \cdot \text{Area}(D) = 2 \cdot \pi r^2 = 2 \pi r^2$。因此原曲线积分 $\oint_C x f(y) \, dy - \frac{y}{f(x)} \, dx \ge 2 \pi r^2$，等号成立当且仅当 $f(x) \equiv 1$ 且 $f(y) \equiv 1$，即 $f$ 恒为1。