kaoyan1advanced 高等数学 第31题
📝 题目
### 第31题
三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 上的高为 $\_\_\_\_$ ．其中 $A(1,0,2), B(3,-1,5), C(2,1,3)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}$ **解析**： 步骤1：向量$\overrightarrow{BC}=(-1,2,-2)$，$\overrightarrow{BA}=(-2,1,-3)$，三角形面积$\displaystyle S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}|$。 步骤2：$\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}=(-4,-4,0)$，模为$4\sqrt{2}$，面积$S=2\sqrt{2}$。$BC$边长$|\overrightarrow{BC}|=3$，高$\displaystyle h=\frac{2S}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算向量
由点坐标得：$\overrightarrow{BC} = C - B = (2-3, 1-(-1), 3-5) = (-1, 2, -2)$，$\overrightarrow{BA} = A - B = (1-3, 0-(-1), 2-5) = (-2, 1, -3)$。
提示：注意向量减法顺序
步骤 2/6
目标：计算向量叉积
叉积 $\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & -2 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-3) - (-2) \cdot 1, \, (-2) \cdot (-2) - (-1) \cdot (-3), \, (-1) \cdot 1 - 2 \cdot (-2)) = (-6 + 2, \, 4 - 3, \, -1 + 4) = (-4, 1, 3)$。
公式：$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$
提示：注意叉积计算顺序，行列式展开符号易错
步骤 3/6
目标：计算叉积模长与三角形面积
叉积模长 $|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$。三角形面积 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA}| = \frac{\sqrt{26}}{2}$。
公式：$$S = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BA}|$$
提示：注意叉积模长计算时各项平方和
步骤 4/6
目标：计算BC边长
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$。
公式：$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}$$
提示：注意向量坐标差值的正负号
步骤 5/6
目标：计算高
由三角形面积公式 $S = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot h$，得高 $h = \frac{2S}{|\overrightarrow{BC}|} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{26}}{2}}{3} = \frac{\sqrt{26}}{3}$。
公式：$$S = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot h$$
提示：注意向量模长计算和面积公式应用
步骤 6/6
目标：最终答案
三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上的高为 $\frac{\sqrt{26}}{3}$。
公式：$$h = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|\vec{BC}|}$$
提示：注意高是点到直线的距离
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