kaoyan1advanced 高等数学 第32题
📝 题目
### 第32题
在 $x O y$ 平面内，过原点且与直线 $\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-5}{1}$ 垂直的直线方程为建议谷题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ **解析**： 步骤1：已知直线方向向量$\vec{s}=(3,2,1)$，所求直线过原点且与其垂直，故方向向量可取$\vec{s}$本身（垂直条件不成立，应为平行？题目要求垂直，则方向向量需与$\vec{s}$垂直，但过原点，可取$\vec{n}=(2,-3,0)$等）。 步骤2：由垂直条件，设方向向量$\vec{v}=(a,b,c)$满足$3a+2b+c=0$，取$\vec{v}=(2,-3,0)$，直线方程$\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z}{0}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定已知直线的方向向量
已知直线方程为 $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-5}{1}$，其方向向量为 $\vec{s} = (3, 2, 1)$。
提示：注意方向向量由分母系数直接给出
步骤 2/5
目标：设所求直线的方向向量
设所求直线过原点，方向向量为 $\vec{v} = (a, b, c)$。由于所求直线与已知直线垂直，因此 $\vec{v} \cdot \vec{s} = 0$，即 $3a + 2b + c = 0$。
公式：$$\vec{v} \cdot \vec{s} = 0$$
提示：注意方向向量点积为零表示垂直
步骤 3/5
目标：选取满足条件的非零向量
取一组满足 $3a + 2b + c = 0$ 的非零解，例如令 $a = 2, b = -3$，则 $c = -3 \times 2 - 2 \times (-3) = -6 + 6 = 0$，即 $\vec{v} = (2, -3, 0)$。
公式：$$3a + 2b + c = 0$$
提示：注意非零解的选择不唯一
步骤 4/5
目标：写出所求直线的对称式方程
所求直线过原点 $(0,0,0)$，方向向量为 $(2, -3, 0)$，因此其对称式方程为 $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{0}$。注意：分母为0表示该方向分量为0，即直线在z方向无变化。
公式：$$\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{0}$$
提示：分母为0表示该方向分量为0
步骤 5/5
目标：给出最终答案
所求直线方程为 $\frac{x}{2} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{0}$。
提示：注意直线方向向量与法向量垂直
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