kaoyan1advanced 高等数学 第33题
📝 题目
### 第33题
直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ 在平面 $\Pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $L_{0}$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$x^2+z^2=2y^2+2y+1$ **解析**： 步骤1：直线$L$方向向量$(1,1,1)$，平面法向量$(1,-1,2)$，投影直线方向向量为两者叉乘得$(3,-1,-2)$。 步骤2：投影直线过$L$与平面交点$(0,-1,0)$，方程为$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}$。绕$y$轴旋转，曲面方程$x^2+z^2=(3t)^2+(-2t)^2=13t^2$，且$\displaystyle t=-\frac{y+1}{1}$，代入得$x^2+z^2=13(y+1)^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求投影直线的方向向量
直线$L$的方向向量为$\vec{s}=(1,1,1)$，平面$\Pi$的法向量为$\vec{n}=(1,-1,2)$。投影直线$L_0$的方向向量$\vec{s}_0$同时垂直于$\vec{s}$和$\vec{n}$，即$\vec{s}_0 = \vec{s} \times \vec{n}$。计算叉乘：
$$\vec{s}_0 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot2 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot1 - 1\cdot2,\ 1\cdot(-1) - 1\cdot1) = (3, -1, -2)$$
公式：$$\vec{s}_0 = \vec{s} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$
提示：叉乘顺序不可颠倒，否则方向相反
步骤 2/6
目标：求投影直线与平面的交点
直线$L$的参数方程为：$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$，代入平面方程$x - y + 2z - 1 = 0$：
$$(1+t) - t + 2(1+t) - 1 = 0 \Rightarrow 1 + t - t + 2 + 2t - 1 = 0 \Rightarrow 2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -1$$
得交点坐标为$(0, -1, 0)$。
公式：$$(1+t) - t + 2(1+t) - 1 = 0 \Rightarrow 2 + 2t = 0 \Rightarrow t = -1$$
提示：代入参数方程时注意符号和括号
步骤 3/6
目标：写出投影直线方程
投影直线$L_0$过点$(0,-1,0)$，方向向量为$(3,-1,-2)$，其对称式方程为：
$$\frac{x}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{-2}$$
公式：$$\frac{x}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{-2}$$
提示：注意投影直线方向向量与平面法向量垂直
步骤 4/6
目标：将投影直线化为参数方程
设参数$t$，令$\frac{x}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{-2} = t$，则投影直线$L_0$的参数方程为：
$$\begin{cases} x = 3t \\ y = -t - 1 \\ z = -2t \end{cases}$$
提示：注意参数t的设定与方程对应
步骤 5/6
目标：求旋转曲面方程
直线$L_0$绕$y$轴旋转，旋转曲面上任一点$(x,y,z)$满足：到$y$轴的距离平方等于母线上对应点（参数$t$）到$y$轴的距离平方，且$y$坐标相同。由参数方程得$y = -t - 1$，即$t = -y - 1$。母线上点$(3t, -t-1, -2t)$到$y$轴的距离平方为$(3t)^2 + (-2t)^2 = 9t^2 + 4t^2 = 13t^2$。将$t = -y - 1$代入得：
$$x^2 + z^2 = 13(-y - 1)^2 = 13(y+1)^2$$
公式：$$x^2 + z^2 = 13(y+1)^2$$
提示：注意旋转时y坐标不变，距离平方相等
步骤 6/6
目标：化简并给出最终答案
展开并整理得：
$$x^2 + z^2 = 13(y^2 + 2y + 1) = 13y^2 + 26y + 13$$
因此所求旋转曲面方程为：
$$\boxed{x^2 + z^2 = 13y^2 + 26y + 13}$$
提示：注意投影直线方程的推导
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