kaoyan1advanced 高等数学 第34题

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📝 题目

### 第34题

设 $\displaystyle z=\left(x^{2} \sin y^{5}+x^{3}\right)\left(2 x^{3}+\tan y^{4}\right) x^{\frac{y^{3}}{2}}+e^{x^{5} y^{6}}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$3$ **解析**： 步骤1：令$z=u(x,y)\cdot v(x,y)$，其中$u=x^2\sin y^5+x^3$，$v=2x^3+\tan y^4$，$\displaystyle w=x^{\frac{y^3}{2}}$，$t=e^{x^5 y^6}$。 步骤2：在$(1,0)$处，$u=1$，$v=2$，$w=1$，$t=1$，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x\sin y^5+3x^2=3$，$\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=6x^2=6$，$\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{y^3}{2}x^{\frac{y^3}{2}-1}=0$，$\displaystyle \frac{\partial t}{\partial x}=5x^4y^6 e^{x^5 y^6}=0$，故$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=3\cdot2\cdot1\cdot1+1\cdot6\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot0\cdot1+1\cdot2\cdot1\cdot0=6+6=12$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分解函数
令 $z = u(x,y) \cdot v(x,y) \cdot w(x,y) + t(x,y)$，其中 $u = x^2 \sin y^5 + x^3$，$v = 2x^3 + \tan y^4$，$w = x^{\frac{y^3}{2}}$，$t = e^{x^5 y^6}$。
提示：注意乘积函数求导法则的分解
步骤 2/5
目标：计算各函数在点(1,0)处的值
代入 $x=1, y=0$：$u(1,0) = 1^2 \sin 0 + 1^3 = 0 + 1 = 1$；$v(1,0) = 2 \cdot 1^3 + \tan 0 = 2 + 0 = 2$；$w(1,0) = 1^{\frac{0}{2}} = 1^0 = 1$；$t(1,0) = e^{1^5 \cdot 0^6} = e^0 = 1$。
提示：注意幂指函数x^(y/2)在x=1时值为1
步骤 3/5
目标：计算各偏导数在点(1,0)处的值
求偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x \sin y^5 + 3x^2$，代入得 $2 \cdot 1 \cdot \sin 0 + 3 \cdot 1^2 = 0 + 3 = 3$；$\frac{\partial v}{\partial x} = 6x^2$，代入得 $6 \cdot 1^2 = 6$；$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{y^3}{2} x^{\frac{y^3}{2} - 1}$，代入得 $\frac{0}{2} \cdot 1^{0-1} = 0$；$\frac{\partial t}{\partial x} = 5x^4 y^6 e^{x^5 y^6}$，代入得 $5 \cdot 1^4 \cdot 0^6 \cdot e^0 = 0$。
提示：注意代入时x=1,y=0，幂次为0时值为1
步骤 4/5
目标：应用乘积法则求偏导
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} v w + u \frac{\partial v}{\partial x} w + u v \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial t}{\partial x}$。代入数值：$3 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 6 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + 0 = 6 + 6 + 0 + 0 = 12$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} v w + u \frac{\partial v}{\partial x} w + u v \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial t}{\partial x}$$
提示：注意乘积法则中每个因子求导顺序
步骤 5/5
目标：得出答案
因此 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)} = 12$。
提示：注意代入点坐标时先化简再求值

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