kaoyan1advanced 高等数学 第30题
📝 题目
### 第30题
常数 $a>0$ ，心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 一周的长度 $=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$8a$ **解析**： 步骤1：心形线$r=a(1+\cos\theta)$，弧长$L=\int_0^{2\pi}\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta$，$r'=-a\sin\theta$。 步骤2：$\displaystyle r^2+(r')^2=a^2(2+2\cos\theta)=4a^2\cos^2\frac{\theta}{2}$，故$\displaystyle L=\int_0^{2\pi}2a|\cos\frac{\theta}{2}|d\theta=8a$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定弧长公式
对于极坐标曲线 $r = r(\theta)$，弧长公式为 $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\theta$。本题中 $r = a(1+\cos\theta)$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，因此 $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\theta$。
公式：$$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\theta$$
提示：注意积分区间为0到2π
步骤 2/5
目标：计算导数并化简被积函数
先求 $r' = \frac{dr}{d\theta} = -a\sin\theta$。然后计算 $r^2 + (r')^2$：
$$
r^2 + (r')^2 = a^2(1+\cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta = a^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta) = a^2(2 + 2\cos\theta) = 2a^2(1+\cos\theta)。
$$
利用半角公式 $1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$，得 $r^2 + (r')^2 = 4a^2\cos^2\frac{\theta}{2}$。
公式：$$r^2+(r')^2 = 2a^2(1+\cos\theta) = 4a^2\cos^2\frac{\theta}{2}$$
提示：注意半角公式的正确使用
步骤 3/5
目标：代入弧长公式并处理绝对值
因此 $\sqrt{r^2 + (r')^2} = 2a \left|\cos\frac{\theta}{2}\right|$。弧长 $L = \int_0^{2\pi} 2a \left|\cos\frac{\theta}{2}\right| \, d\theta$。由于 $\cos\frac{\theta}{2}$ 在 $[0,2\pi]$ 上变号，需分段积分。
公式：$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\theta$$
提示：注意绝对值处理，分段积分
步骤 4/5
目标：分段积分并计算
当 $\theta \in [0,\pi]$ 时，$\frac{\theta}{2} \in [0,\frac{\pi}{2}]$，$\cos\frac{\theta}{2} \ge 0$；当 $\theta \in [\pi,2\pi]$ 时，$\frac{\theta}{2} \in [\frac{\pi}{2},\pi]$，$\cos\frac{\theta}{2} \le 0$。故
$$
L = 2a \left( \int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} \, d\theta + \int_{\pi}^{2\pi} (-\cos\frac{\theta}{2}) \, d\theta \right) = 2a \left( \int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} \, d\theta - \int_{\pi}^{2\pi} \cos\frac{\theta}{2} \, d\theta \right)。
$$
计算积分：$\int \cos\frac{\theta}{2} \, d\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}$，所以
$$
\int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} \, d\theta = 2\sin\frac{\pi}{2} - 2\sin 0 = 2，\quad \int_{\pi}^{2\pi} \cos\frac{\theta}{2} \, d\theta = 2\sin\pi - 2\sin\frac{\pi}{2} = 0 - 2 = -2。
$$
因此 $L = 2a \left( 2 - (-2) \right) = 2a \times 4 = 8a$。
公式：$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta$$
提示：注意分段时cos符号的处理
步骤 5/5
目标：得出最终答案
心形线 $r = a(1+\cos\theta)$ 一周的长度为 $8a$。
公式：$$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\theta$$
提示：注意积分区间为0到2π
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