kaoyan1advanced 高等数学 第29题
📝 题目
### 第29题
曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{4}$ **解析**： 步骤1：旋转体体积$\displaystyle V=\pi\int_0^1 (x^2)^2 dx = \frac{\pi}{5}$，对$x$的静矩$\displaystyle M_x=\pi\int_0^1 x\cdot x^4 dx = \frac{\pi}{6}$。 步骤2：形心$x$坐标$\displaystyle \bar{x}=\frac{M_x}{V}=\frac{\pi/6}{\pi/5}=\frac{5}{6}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定旋转体体积
曲线 $y=x^2$ 与 $x$ 轴、$x=1$ 围成的区域绕 $x$ 轴旋转，体积公式为 $V = \pi \int_0^1 [f(x)]^2 dx$，其中 $f(x)=x^2$。计算得：$V = \pi \int_0^1 x^4 dx = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5}$。
公式：$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$
提示：注意积分区间为0到1
步骤 2/4
目标：计算对 $x$ 轴的静矩
旋转体对 $x$ 轴的静矩 $M_x$ 定义为 $M_x = \pi \int_0^1 x \cdot [f(x)]^2 dx$。代入 $f(x)=x^2$：$M_x = \pi \int_0^1 x \cdot x^4 dx = \pi \int_0^1 x^5 dx = \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}$。
公式：$$M_x = \pi \int_a^b x [f(x)]^2 dx$$
提示：注意静矩公式中的x因子
步骤 3/4
目标：求形心 $x$ 坐标
形心 $x$ 坐标公式为 $\bar{x} = \frac{M_x}{V}$。代入 $M_x = \frac{\pi}{6}$，$V = \frac{\pi}{5}$，得 $\bar{x} = \frac{\pi/6}{\pi/5} = \frac{5}{6}$。
公式：$$\bar{x} = \frac{M_x}{V}$$
提示：注意区分M_x和V的计算
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此，旋转体的形心 $x$ 坐标为 $\boxed{\frac{5}{6}}$。
公式：$$\bar{x} = \frac{\int_{a}^{b} x \cdot \pi [f(x)]^2 dx}{\int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 dx}$$
提示：注意形心公式中分子是x乘以体积微元
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。