kaoyan1advanced 高等数学 第28题
📝 题目
### 第28题
曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：体积$V=\pi\int_0^{+\infty} y^2 dx = \pi\int_0^{+\infty} e^{-2x}\sin x dx$。 步骤2：计算积分$\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-2x}\sin x dx = \frac{1}{5}$，故$\displaystyle V=\frac{\pi}{5}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定旋转体体积公式
曲线 $y = e^{-x} \sqrt{\sin x}$ 与 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转，体积公式为 $V = \pi \int_{0}^{+\infty} y^2 \, dx$。代入 $y^2 = e^{-2x} \sin x$，得 $V = \pi \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$。
公式：$$V = \pi \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$$
提示：注意积分限从0到正无穷
步骤 2/5
目标：计算无穷限积分
计算 $I = \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$。使用分部积分法，令 $u = \sin x$，$dv = e^{-2x} dx$，则 $du = \cos x \, dx$，$v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$。于是 $I = \left[-\frac{1}{2} e^{-2x} \sin x\right]_{0}^{+\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \cos x \, dx = 0 + \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \cos x \, dx$。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意无穷限代入时极限为0
步骤 3/5
目标：继续分部积分
对 $J = \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \cos x \, dx$ 再次分部积分，令 $u = \cos x$，$dv = e^{-2x} dx$，则 $du = -\sin x \, dx$，$v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$。得 $J = \left[-\frac{1}{2} e^{-2x} \cos x\right]_{0}^{+\infty} - \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} \sin x \, dx = \left(0 + \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} I = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} I$。
提示：注意分部积分中符号和边界值的计算
步骤 4/5
目标：解出积分值
将 $J$ 代入 $I = \frac{1}{2} J$，得 $I = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} I \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} I$。移项得 $I + \frac{1}{4} I = \frac{1}{4}$，即 $\frac{5}{4} I = \frac{1}{4}$，解得 $I = \frac{1}{5}$。
提示：注意移项时系数合并正确
步骤 5/5
目标：得出体积
因此 $V = \pi \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{5}$。
公式：$$V = \pi \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin x \, dx$$
提示：注意积分限和收敛性
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