kaoyan1advanced 高等数学 第27题
📝 题目
### 第27题
曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ 与其渐近线围成区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**： 步骤1：曲线$\displaystyle y=\frac{x^2}{1+x^2}$，渐近线为$y=1$。区域由$\displaystyle y=\frac{x^2}{1+x^2}$与$y=1$围成，绕$y=1$旋转。 步骤2：体积$\displaystyle V=\pi\int_{-\infty}^{+\infty}\left(1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)^2 dx = \pi\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2}dx = \pi\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定渐近线
曲线 $y = \frac{x^2}{1+x^2}$，当 $x \to \pm\infty$ 时，$y \to 1$，因此水平渐近线为 $y=1$。
提示：注意x趋于无穷时y的极限
步骤 2/5
目标：确定旋转区域
曲线 $y = \frac{x^2}{1+x^2}$ 与渐近线 $y=1$ 围成的区域为：曲线下方、渐近线上方，且曲线恒小于1，故区域为 $\left\{ (x,y) \mid -\infty < x < +\infty,\ \frac{x^2}{1+x^2} \leq y \leq 1 \right\}$。
提示：注意曲线恒小于渐近线，区域为无穷区间
步骤 3/5
目标：建立旋转体体积公式
绕 $y=1$ 旋转，使用圆盘法。旋转半径为 $1 - y = 1 - \frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2}$，体积微元 $dV = \pi \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^2 dx$，积分区间为 $(-\infty, +\infty)$，故 $V = \pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$。
公式：$$V = \pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$$
提示：注意积分区间为无穷，需用反常积分
步骤 4/5
目标：计算积分
利用公式 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \frac{\pi}{2}$（可通过三角代换 $x = \tan \theta$ 或留数定理得到），因此 $V = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$。
公式：$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意积分限为无穷，使用对称性简化计算
步骤 5/5
目标：得出答案
旋转体体积 $V = \frac{\pi^2}{2}$。
公式：$$V = \pi \int_{a}^{b} [R(y)]^2 dy$$
提示：注意渐近线为y=1，旋转轴为水平线
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