kaoyan1advanced 高等数学 第73题
📝 题目
### 第73题
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2+(2 x)^{n}+x^{2 n}}, x \in(0,+\infty)$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内不可导的点的个数为 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ．
建设器题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2+(2x)^n+x^{2n}}$，当$x>0$时，比较底数中最大值。 步骤2：当$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：分析极限表达式，确定底数中的最大值
对于 $x>0$，考虑 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2+(2x)^n+x^{2n}}$。当 $n$ 很大时，根号内三项的大小取决于底数的大小。比较 $2$、$2x$ 和 $x^2$ 的大小。
提示：注意比较底数大小，忽略常数2的影响
步骤 2/5
目标：步骤2：分区间讨论极限值
当 $02x$ 当 $x>2$，故 $12$ 当 $x>\sqrt{2}$，因此需细分：
- 当 $12$ 当 $x>1$，$2x>x^2$ 当 $x<2$，故 $12$ 时，$x^2>2x>2$，最大项为 $x^{2n}$，故 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^{2n}}=x^2$。
提示：注意比较2、2x、x^2的大小，分区间讨论
步骤 3/5
目标：步骤3：写出分段函数表达式
综合以上，$f(x)=\begin{cases} 1, & 0
提示：注意分段点处左右极限与函数值的关系
步骤 4/5
目标：步骤4：检查可导性
在 $x=1$ 处：左导数 $f'_-(1)=0$，右导数 $f'_+(1)=2$，不相等，故不可导。
在 $x=2$ 处：左导数 $f'_-(2)=2$（因为 $f(x)=2x$ 的导数为 $2$），右导数 $f'_+(2)=4$（因为 $f(x)=x^2$ 的导数为 $2x$，在 $x=2$ 处为 $4$），不相等，故不可导。
其他区间内函数为常数或多项式，可导。
提示：分段函数在分段点处需分别计算左右导数是否相等
步骤 5/5
目标：步骤5：确定不可导点的个数
因此，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内不可导的点为 $x=1$ 和 $x=2$，共 $2$ 个。
提示：注意分段点处导数是否相等
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