kaoyan1advanced 高等数学 第74题
📝 题目
### 第74题
设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-1,1)$ 上，且都在 $x=0$ 处连续，若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 2, & x=0,\end{array}\right.$ 则 （A）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ． （B）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=1$ ． （C）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=2$ ． （D）$g(0)=1$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$f(x)$在$x=0$处连续，$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=2$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=2$，故$g(0)=0$。 步骤2：由导数定义，$\displaystyle g'(0)=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用连续性条件
由题意，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，因此 $\lim_{x\to 0} f(x) = f(0) = 2$。当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{g(x)}{x}$，故 $\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x} = 2$。
公式：$$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0) = 2$$
提示：注意连续定义与极限关系
步骤 2/5
目标：推导 $g(0)$ 的值
由于 $\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}$ 存在且为有限值 $2$，分母 $x \to 0$，则分子必须趋于 $0$，即 $\lim_{x\to 0} g(x) = 0$。又 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以 $g(0) = \lim_{x\to 0} g(x) = 0$。
提示：注意极限存在且分母趋于0时分子必趋于0
步骤 3/5
目标：利用导数定义求 $g'(0)$
由导数定义，$g'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x}$。
公式：$$g'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x}$$
提示：注意g(0)=0的条件
步骤 4/5
目标：代入极限结果
由步骤1知 $\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x} = 2$，因此 $g'(0) = 2$。
提示：注意g'(0)的定义是极限形式
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，$g(0)=0$ 且 $g'(0)=2$，对应选项（C）。
提示：注意分段函数在x=0处的连续性和导数定义
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