kaoyan1advanced 高等数学 第75题
📝 题目
### 第75题
设严格单调函数 $y=f(x)$ 有二阶连续导数，其反函数为 $x=\varphi(y)$ ，且 $f(1)=2$ ， $f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3$ ，则 $\varphi^{\prime \prime}(2)$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （B）-3 ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3}{8}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：反函数导数公式：$\displaystyle \varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，其中$y=f(x)$。 步骤2：二阶导数：$\displaystyle \varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$。 步骤3：由$f(1)=2$，$f'(1)=2$，$f''(1)=3$，得$\displaystyle \varphi''(2)=-\frac{3}{2^3}=-\frac{3}{8}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用反函数求导公式
设 $y=f(x)$ 严格单调且二阶可导，反函数 $x=\varphi(y)$ 满足 $\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$，其中 $y=f(x)$。
公式：$$\varphi'(y)=\frac{1}{f'(x)}$$
提示：注意反函数自变量与因变量的对应关系
步骤 2/4
目标：求二阶导数
对 $\varphi'(y)$ 关于 $y$ 求导，由复合函数求导法则得：
$$\varphi''(y)=\frac{d}{dy}\left(\frac{1}{f'(x)}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f'(x)}\right)\cdot\frac{dx}{dy}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^2}\cdot\frac{1}{f'(x)}=-\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}.$$
公式：$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$
提示：注意复合函数求导时中间变量x的导数
步骤 3/4
目标：代入已知条件
已知 $f(1)=2$，$f'(1)=2$，$f''(1)=3$。当 $y=2$ 时，$x=1$，因此
$$\varphi''(2)=-\frac{f''(1)}{[f'(1)]^3}=-\frac{3}{2^3}=-\frac{3}{8}.$$
公式：$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$
提示：注意反函数二阶导公式中分母是三次方
步骤 4/4
目标：得出答案
因此 $\varphi''(2)=-\frac{3}{8}$，对应选项 (D)。
公式：$$\varphi''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$$
提示：注意反函数二阶导公式的符号和分母三次方
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