kaoyan1advanced 高等数学 第76题
📝 题目
### 第76题
设函数 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}>0$ ，则 （A）$f(1)>f(0)$ ． （B）$f(1)
建议容题时问
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}>0$，知$f(x)$与$f'(x)$同号，故$f(x)$恒正或恒负，且单调。 步骤2：若$f(x)>0$，则$f'(x)>0$，$f$递增，$f(1)>f(0)$，$\displaystyle \left|\frac{f(1)}{f(0)}\right|>1$；若$f(x)<0$，则$f'(x)<0$，$f$递减，$f(1)
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析条件
由 $\frac{f(x)}{f'(x)} > 0$ 可知，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 同号，即 $f(x) > 0$ 时 $f'(x) > 0$，$f(x) < 0$ 时 $f'(x) < 0$。因此 $f(x)$ 恒正或恒负，且单调。
提示：注意同号关系，不能直接判断大小
步骤 2/4
目标：情况一：$f(x) > 0$
若 $f(x) > 0$，则 $f'(x) > 0$，函数单调递增。于是 $f(1) > f(0) > 0$，从而 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| = \frac{f(1)}{f(0)} > 1$。
提示：注意符号判断与单调性结合
步骤 3/4
目标：情况二：$f(x) < 0$
若 $f(x) < 0$，则 $f'(x) < 0$，函数单调递减。于是 $f(1) < f(0) < 0$，即 $f(1)$ 和 $f(0)$ 均为负，且 $|f(1)| > |f(0)|$，从而 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| = \frac{|f(1)|}{|f(0)|} > 1$。
提示：注意f(x)与f'(x)同号，分情况讨论单调性
步骤 4/4
目标：综合结论
无论 $f(x)$ 恒正还是恒负，均有 $\left|\frac{f(1)}{f(0)}\right| > 1$，故选项 (D) 正确。
提示：注意符号和绝对值关系
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