kaoyan1advanced 高等数学 第72题

教材习题

📝 题目

### 第72题

下列 4 个命题

（1）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导． （2）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ 在 $x= a$ 处必可导． （3）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=|x-a| \varphi(x)$ 在 $x= a$ 处必可导． （4）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．

正确的命题为 （A）（1）与（2）． （B）（3）与（4）． （C）（1）与（3）． （D）（2）与（4）．

💡 答案解析

**答案**：A **解析**： 步骤1：命题（1）正确，由$f$连续且$|f|$可导，可推出$f$可导。 步骤2：命题（2）正确，$f(x)=(x-a)\varphi(x)$，由导数定义，$f'(a)=\lim_{x\to a}\varphi(x)$存在。 步骤3：命题（3）错误，反例$\varphi(x)=1$，则$f(x)=|x-a|$在$x=a$处不可导。 步骤4：命题（4）错误，反例$f(x)=|x|$在$x=0$处，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}=0$存在，但$f$不可导。 故正确为（1）与（2）。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分析命题（1）
已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导。由 $|f|$ 可导，得 $\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}$ 存在。若 $f(a)\neq 0$，则存在邻域内 $f(x)$ 与 $f(a)$ 同号，从而 $|f(x)|=f(x)$ 或 $|f(x)|=-f(x)$，故 $f$ 可导。若 $f(a)=0$，则 $\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{x-a}$ 存在，设为 $L$。由 $f$ 连续，$f(a)=0$，则 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{x-a}$ 存在当且仅当 $L=0$ 时左右导数相等。但 $|f|$ 可导推出 $L=0$，否则 $|f|$ 的左右导数符号相反。因此 $f$ 在 $x=a$ 处可导。命题（1）正确。
公式：$$\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}$$
提示：注意f(a)=0时需分情况讨论
步骤 2/5
目标：分析命题（2）
设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim_{x\to a}\varphi(x)$ 存在，记该极限为 $A$。则 $f(x)=(x-a)\varphi(x)$。由导数定义：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)-0}{x-a}=\lim_{x\to a}\varphi(x)=A$，该极限存在，故 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导。命题（2）正确。
公式：$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)-0}{x-a}=\lim_{x\to a}\varphi(x)=A$$
提示：注意极限存在即可导，无需φ连续
步骤 3/5
目标：分析命题（3）
设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim_{x\to a}\varphi(x)$ 存在。考虑反例：取 $\varphi(x)=1$，则 $f(x)=|x-a|$。在 $x=a$ 处，左导数为 $-1$，右导数为 $1$，左右导数不相等，故 $f(x)$ 在 $x=a$ 处不可导。命题（3）错误。
提示：注意极限存在不能保证可导性
步骤 4/5
目标：分析命题（4）
已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim_{x\to 0}\frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 存在。考虑反例：取 $f(x)=|x|$，$a=0$，则 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{|x|-| -x|}{x}=0$，该极限存在，但 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导。命题（4）错误。
提示：极限存在不能保证导数存在，需注意反例
步骤 5/5
目标：得出结论
正确的命题为（1）和（2），对应选项（A）。
提示：注意连续性与可导性的关系，以及绝对值函数的可导性条件。

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