kaoyan1advanced 高等数学 第71题

命题（1）声称：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导。考虑反例：$f(x)=x$ 在 $x=0$ 处可导，但 $|f(x)|=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导（左导数为 $-1$，右导数为 $1$，左右导数不相等）。因此命题（1）错误。

命题（2）声称：若 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。考虑反例：$f(x)=\begin{cases} 1, & x \geq 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$，则 $|f(x)|=1$ 在 $x=0$ 处可导（导数为 $0$），但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，因此不可导。故命题（2）错误。

命题（3）声称：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f(x_0)=0$，$f'(x_0) \neq 0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处不可导。由导数定义：$\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)| - |f(x_0)|}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{x - x_0}$。由于 $f(x_0)=0$ 且 $f'(x_0) \neq 0$，在 $x_0$ 附近 $f(x)$ 变号，故左导数为 $-|f'(x_0)|$，右导数为 $|f'(x_0)|$，左右导数互为相反数且非零，因此不可导。命题（3）正确。

命题（4）声称：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。分情况讨论：若 $f(x_0) \neq 0$，由连续性，$f(x)$ 在 $x_0$ 附近保号，则 $|f(x)| = \pm f(x)$，故 $f$ 可导；若 $f(x_0)=0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导意味着 $\lim_{x \to x_0} \frac{|f(x)|}{x - x_0}$ 存在，设为 $A$，则 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{x - x_0} = \pm A$，但需验证左右导数相等。由于 $f$ 连续且 $f(x_0)=0$，$|f(x)|$ 可导推出 $A=0$（否则 $f$ 在 $x_0$ 附近变号导致矛盾），从而 $f'(x_0)=0$。因此 $f$ 可导。命题（4）正确。

命题（1）错误，命题（2）错误，命题（3）正确，命题（4）正确。因此正确的命题个数为 $2$。