kaoyan1advanced 高等数学 第51题
📝 题目
### 第51题
若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^{n^{2}} x^{n}(a>0)$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ ，则 $a$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先把题目抄下来，然后逐步分析。题目是：
若幂级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} a^{n^{2}} x^{n} \quad (a>0) $$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$，则 $a$ 应满足什么条件。
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**第一步：回忆收敛半径的求法**
对于幂级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n $$ 收敛半径 $R$ 可以用根值法或比值法来求。这里系数是 $$ c_n = a^{n^2} $$ 所以我们可以用根值判别法（Cauchy-Hadamard公式）：
收敛半径 $$ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} $$
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**第二步：计算极限**
$$ \sqrt[n]{|c_n|} = \sqrt[n]{a^{n^2}} = a^{n} $$ 当 $n \to \infty$ 时， - 如果 $a > 1$，则 $a^n \to \infty$，那么 $1/R = \infty$，即 $R = 0$，只在 $x=0$ 收敛。 - 如果 $a = 1$，则 $a^n = 1$，那么 $1/R = 1$，即 $R=1$，收敛域是 $(-1,1)$ 加上可能端点。 - 如果 $0 < a < 1$，则 $a^n \to 0$，那么 $1/R = 0$，即 $R = \infty$，收敛域是整个实数轴。
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**第三步：根据题意确定条件**
题目说收敛域是 $(-\infty, +\infty)$，也就是 $R = \infty$，所以必须 $$ 0 < a < 1 $$
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**最终答案**： $$ \boxed{0 这样就完成了。