📝 题目
### 第110题
$\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2 \sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
建设容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 积分区域由$y\in[0,2]$，$x\in[y/2,\sqrt{y}]$和$y\in[2,2\sqrt{2}]$，$x\in[y/2,\sqrt{2}]$组成，即$x\in[0,\sqrt{2}]$，$y\in[x^{2},2x]$。 交换积分次序得$\int_{0}^{\sqrt{2}}\mathrm{d}x\int_{x^{2}}^{2x}f(x,y)\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
目标：分析积分区域
原积分由两部分组成：
第一部分：$y \in [0,2]$，$x \in [\frac{y}{2}, \sqrt{y}]$；
第二部分：$y \in [2, 2\sqrt{2}]$，$x \in [\frac{y}{2}, \sqrt{2}]$。
画出区域草图，确定$x$的范围：第一部分中$x$从$0$到$\sqrt{2}$，第二部分中$x$从$\sqrt{2}/2$到$\sqrt{2}$，综合得$x \in [0, \sqrt{2}]$。
提示：注意积分区域的分段和x范围综合
目标：确定$x$与$y$的关系
对于固定的$x$，$y$的下界由曲线$x = \frac{y}{2}$得$y = 2x$，上界由曲线$x = \sqrt{y}$得$y = x^2$（第一部分）和$x = \sqrt{2}$得$y = 2\sqrt{2}$（第二部分）。但需注意：当$x \in [0,1]$时，$y$从$x^2$到$2x$；当$x \in [1, \sqrt{2}]$时，$y$从$x^2$到$2$？实际上，第二部分中$x$的上界为$\sqrt{2}$，但$y$的上界为$2\sqrt{2}$，而第一部分中$y$的上界为$\sqrt{y}$，即$y = x^2$。综合后，$y$的下界为$x^2$，上界为$2x$（因为当$x \in [0,1]$时，$2x \le 2$；当$x \in [1, \sqrt{2}]$时，$2x \ge 2$，但第二部分中$y$的上界为$2\sqrt{2}$，而$2x$在$x=\sqrt{2}$时为$2\sqrt{2}$，所以上界统一为$2x$）。因此区域为：$x \in [0, \sqrt{2}]$，$y \in [x^2, 2x]$。
提示：注意积分限变换时上下界对应关系
目标：交换积分次序
交换积分次序后，积分变为：
$$\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{d}x \int_{x^2}^{2x} f(x,y) \mathrm{d}y$$
公式：$$\int_{0}^{2} dy \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx + \int_{2}^{4} dy \int_{\frac{y}{2}}^{2} f(x,y) dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} dx \int_{x^2}^{2x} f(x,y) dy$$
提示：注意积分区域的分段和边界对应关系
目标：对比选项
选项C为：$\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{d}x \int_{x^2}^{2x} f(x,y) \mathrm{d}y$，与所得结果一致。
提示：注意积分限的对应关系