kaoyan1advanced 高等数学 第109题
📝 题目
### 第109题
设 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 积分区域为$x\in[0,2]$，$y\in[-\sqrt{4-x^{2}},\sqrt{4-x^{2}}]$，即右半圆$x\geq0$，$x^{2}+y^{2}\leq4$。 极坐标下$\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，$r\in[0,2]$，对应D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：分析积分区域
原积分 $\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 中，$x$ 从 $0$ 到 $2$，对于每个 $x$，$y$ 从 $-\sqrt{4-x^{2}}$ 到 $\sqrt{4-x^{2}}$。这表示区域由 $x \geq 0$ 且 $x^2 + y^2 \leq 4$ 确定，即右半圆（圆心在原点，半径为 $2$）。
提示：注意x从0到2，是右半圆区域
步骤 2/6
目标：步骤2：排除选项A
选项A：$\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ 表示矩形区域 $x \in [0,2], y \in [-2,2]$，而原区域是半圆，两者不同，故A错误。
提示：注意积分区域形状不同
步骤 3/6
目标：步骤3：排除选项B
选项B：$\int_{-2}^{2} \mathrm{d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ 表示区域 $y \in [-2,2]$，$x$ 从 $0$ 到 $\sqrt{4-y^2}$，即右半圆，但积分次序交换后，$y$ 的范围应为 $[-2,2]$，而原积分中 $y$ 的范围是 $[-\sqrt{4-x^2}, \sqrt{4-x^2}]$，两者区域相同，但选项B的积分次序是 $y$ 先 $x$ 后，与原积分次序不同，且未考虑对称性，故B错误。
提示：注意积分次序与区域对应关系
步骤 4/6
目标：步骤4：排除选项C
选项C：$2 \int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ 表示将原区域的上半部分（$y \geq 0$）积分乘以2，但原区域关于 $x$ 轴对称，若 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是偶函数，则成立，但题目未说明 $f$ 的对称性，故C不一定正确。
提示：对称性需函数性质支持，不可直接乘2
步骤 5/6
目标：步骤5：验证选项D
选项D：$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ 表示极坐标下，$\theta$ 从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$（对应右半圆），$r$ 从 $0$ 到 $2$，这正是原积分区域的极坐标描述，且 $f(r,\theta)$ 是 $f(x,y)$ 在极坐标下的表示，故D正确。
提示：注意极坐标积分限对应区域
步骤 6/6
目标：步骤6：得出答案
因此，正确选项为D。
提示：注意积分区域形状与坐标系选择
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