kaoyan1advanced 高等数学 第108题
📝 题目
### 第108题
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处有定义，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-1}=2$ ，则下列结论不正确的是 （A）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=0$ ． （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （D）$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值．
建设荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 由极限式得$f(0,0)=0$，且$f(x,y)\sim 2(x^{2}+y^{2})\geq0$，故$(0,0)$为极小值点，D错误。 连续、偏导为0、可微均成立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限条件
已知 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{e^{x^2+y^2}-1}=2$。由于分母 $e^{x^2+y^2}-1 \sim x^2+y^2$（当 $(x,y)\to(0,0)$ 时），因此极限等价于 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=2$。
公式：$$e^{x^2+y^2}-1 \sim x^2+y^2$$
提示：注意等价无穷小替换的条件
步骤 2/6
目标：推导连续性
由极限式可知，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$f(x,y)-f(0,0) \sim 2(x^2+y^2) \to 0$，因此 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)$，即 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。选项（A）正确。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=2$$
提示：注意极限式隐含了f(0,0)的值
步骤 3/6
目标：计算偏导数
考虑沿 $x$ 轴方向（$y=0$）的极限：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x^2}{x}=0$，故 $f_x'(0,0)=0$。同理，沿 $y$ 轴方向得 $f_y'(0,0)=0$。因此选项（B）正确。
公式：$$f_x'(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$$
提示：偏导定义需沿坐标轴方向取极限
步骤 4/6
目标：判断可微性
由极限式得 $f(x,y)-f(0,0)=2(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)$，而 $f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0$，因此 $f(x,y)-f(0,0)-[f_x'(0,0)x+f_y'(0,0)y]=2(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)$。由于 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。选项（C）正确。
公式：$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$$
提示：注意可微定义中线性主部与高阶无穷小的关系
步骤 5/6
目标：判断极值性
由 $f(x,y)-f(0,0) \sim 2(x^2+y^2) \geq 0$，可知在 $(0,0)$ 附近 $f(x,y) \geq f(0,0)$，因此 $(0,0)$ 是极小值点，而非极大值点。选项（D）不正确。
公式：$$f(x,y)-f(0,0) \sim 2(x^2+y^2) \geq 0$$
提示：注意等价无穷小代换后的符号判断
步骤 6/6
目标：得出结论
综上，不正确的选项是（D）。
提示：注意极限存在与连续性的区别
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