kaoyan1advanced 高等数学 第107题
📝 题目
### 第107题
设函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f(0,0)=0, f(2,1)>3, f_{y}^{\prime}(x, y)<0$ ，则至少存在一点 （ $x_{0}, y_{0}$ ），使 （A）$f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<1$ ． （B）$f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<-3$ ． （C）$\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{3}{2}$ ． （D）$\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>\frac{3}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 由$f_y^{\prime}<0$知$f$关于$y$递减。$f(2,1)>3$，$f(2,0)>f(2,1)>3$。 由拉格朗日中值定理，存在$(x_0,y_0)$使$f(2,0)-f(0,0)=2f_x^{\prime}(x_0,y_0)$，故$\displaystyle f_x^{\prime}(x_0,y_0)>\frac{3}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用单调性推导函数值关系
由条件 $f_y'(x, y) < 0$ 可知，函数 $f(x, y)$ 关于变量 $y$ 严格单调递减。因此，对于固定的 $x=2$，有 $f(2, 0) > f(2, 1)$。已知 $f(2, 1) > 3$，故 $f(2, 0) > 3$。
提示：注意单调递减方向，y增大函数值减小
步骤 2/4
目标：应用拉格朗日中值定理
考虑函数 $f(x, 0)$ 在区间 $[0, 2]$ 上。由于 $f$ 可微，由拉格朗日中值定理，存在一点 $x_0 \in (0, 2)$ 使得 $f(2, 0) - f(0, 0) = f_x'(x_0, 0) \cdot (2 - 0)$。已知 $f(0, 0) = 0$，代入得 $f(2, 0) = 2 f_x'(x_0, 0)$。
公式：$$f(2,0) - f(0,0) = f_x'(x_0,0) \cdot (2-0)$$
提示：注意中值定理应用于一元函数f(x,0)
步骤 3/4
目标：结合不等式推导偏导范围
由 $f(2, 0) > 3$ 可得 $2 f_x'(x_0, 0) > 3$，即 $f_x'(x_0, 0) > \frac{3}{2}$。令 $y_0 = 0$，则存在点 $(x_0, y_0)$ 使得 $f_x'(x_0, y_0) > \frac{3}{2}$。
公式：$$f(2,0) - f(0,0) = 2 f_x'(x_0, 0)$$
提示：注意中值定理应用条件
步骤 4/4
目标：结论与选项匹配
因此，至少存在一点 $(x_0, y_0)$ 满足 $f_x'(x_0, y_0) > \frac{3}{2}$，对应选项 (D)。
提示：注意条件f(2,1)>3与f_y'<0结合
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