kaoyan1advanced 高等数学 第106题
📝 题目
### 第106题
若函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2$ ，且 $f(x, 1)=x+2$ ，又 $f_{y}^{\prime}(x, 1)=x+1$ ，则 $f(x$ ， y）＝ （A）$y^{2}+(x-1) y-2$ ． （B）$y^{2}+(x+1) y+2$ ． （C）$y^{2}+(x-1) y+2$ ． （D）$y^{2}+(x+1) y-2$ ．
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💡 答案解析
**答案**：C **解析**： $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2$积分得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2y+\varphi(x)$，代入$f_y^{\prime}(x,1)=x+1$得$2+\varphi(x)=x+1$，$\varphi(x)=x-1$。 再积分得$z=y^{2}+(x-1)y+\psi(x)$，代入$f(x,1)=x+2$得$1+(x-1)+\psi(x)=x+2$，$\psi(x)=2$。 故$f(x,y)=y^{2}+(x-1)y+2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：第一步：对二阶偏导数积分，得到一阶偏导数表达式
已知 $\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 2$，对 $y$ 积分一次得 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + \varphi(x)$，其中 $\varphi(x)$ 是 $x$ 的任意函数。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + \varphi(x)$$
提示：积分时注意常数项是x的函数
步骤 2/5
目标：第二步：利用条件 $f'_y(x,1)=x+1$ 确定 $\varphi(x)$
代入 $y=1$：$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{y=1} = 2 \cdot 1 + \varphi(x) = 2 + \varphi(x)$。由已知 $f'_y(x,1)=x+1$，得 $2 + \varphi(x) = x+1$，解得 $\varphi(x) = x-1$。因此 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + (x-1)$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{y=1} = 2 + \varphi(x) = x+1$$
提示：代入y=1时注意边界条件
步骤 3/5
目标：第三步：对一阶偏导数再次积分，得到 $z$ 的表达式
对 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y + (x-1)$ 关于 $y$ 积分：$z = y^2 + (x-1)y + \psi(x)$，其中 $\psi(x)$ 是 $x$ 的任意函数。
公式：$$z = \int \frac{\partial z}{\partial y} dy = y^2 + (x-1)y + \psi(x)$$
提示：积分时注意将x视为常数，并添加任意函数ψ(x)
步骤 4/5
目标：第四步：利用条件 $f(x,1)=x+2$ 确定 $\psi(x)$
代入 $y=1$：$z\big|_{y=1} = 1^2 + (x-1)\cdot 1 + \psi(x) = 1 + x - 1 + \psi(x) = x + \psi(x)$。由已知 $f(x,1)=x+2$，得 $x + \psi(x) = x+2$，解得 $\psi(x) = 2$。
提示：注意代入y=1时各项计算
步骤 5/5
目标：第五步：写出函数表达式并选择正确选项
因此 $f(x,y) = y^2 + (x-1)y + 2$。对比选项，该表达式对应选项 (C)。
公式：$$f(x,y) = y^2 + (x-1)y + 2$$
提示：注意代入边界条件确定常数
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