kaoyan1advanced 高等数学 第105题
📝 题目
### 第105题
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}=-1$ ，则下列结论不正确的是 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取极小值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点处不可微．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 由极限式得$f(0,0)=0$，且$f(x,y)\sim -(|x|+|y|)<0$（$(x,y)\neq(0,0)$），故$(0,0)$为极大值点，C错误。 偏导数不存在（沿$x$轴$f(x,0)\sim -|x|$，导数不存在），不可微。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：利用极限条件推出函数值
由题设，$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{|x|+|y|} = -1$，且$f(x,y)$在$(0,0)$处连续。令$(x,y)\to(0,0)$，分母$|x|+|y|\to 0$，若$f(0,0)\neq 0$，则极限不存在或不为有限值，故必有$f(0,0)=0$。因此，在$(0,0)$附近（除原点外），$f(x,y) \sim -(|x|+|y|) < 0$。
提示：注意极限分母趋于0时分子必须趋于0
步骤 2/5
目标：步骤2：分析极值性质
由于在$(0,0)$的任意邻域内，当$(x,y)\neq(0,0)$时，$f(x,y) \approx -(|x|+|y|) < 0 = f(0,0)$，即$f(x,y) < f(0,0)$，故$(0,0)$是$f(x,y)$的极大值点，而非极小值点。因此选项（C）不正确。
提示：注意极值定义中邻域内函数值比较
步骤 3/5
目标：步骤3：判断偏导数是否存在
考虑沿$x$轴方向（$y=0$）的极限：$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)}{x}$。由极限条件，$f(x,0) \sim -|x|$，故$\frac{f(x,0)}{x} \sim -\frac{|x|}{x}$，当$x\to 0^+$时趋于$-1$，当$x\to 0^-$时趋于$1$，左右极限不相等，因此$f_x'(0,0)$不存在。同理，沿$y$轴方向可得$f_y'(0,0)$也不存在。故选项（A）和（B）正确。
公式：$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)}{x}$$
提示：注意左右极限方向不同
步骤 4/5
目标：步骤4：判断可微性
函数在$(0,0)$处可微的必要条件是偏导数存在。由步骤3知，$f_x'(0,0)$和$f_y'(0,0)$均不存在，因此$f(x,y)$在$(0,0)$处不可微。故选项（D）正确。
提示：偏导不存在则不可微
步骤 5/5
目标：步骤5：确定不正确的选项
综合以上分析，选项（A）、（B）、（D）均正确，只有选项（C）不正确。因此，本题应选（C）。
提示：注意区分正确与错误选项
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