kaoyan1advanced 高等数学 第104题
📝 题目
### 第104题
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是 （A）$\alpha<1$ ． （B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 由极限式得$f(0,0)=0$，且$f(x,y)=-3x+4y+2(x^{2}+y^{2})^{\alpha}+o((x^{2}+y^{2})^{\alpha})$。 可微要求$\alpha>1/2$（此时线性部分为$-3x+4y$，高阶项阶数高于1）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：利用极限式确定f(0,0)的值
由极限存在且为2，且分母趋于0，分子必须趋于0。因此$\lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}[f(x,y)+3x-4y]=0$。由$f(x,y)$在$(0,0)$连续，得$f(0,0)+0-0=0$，故$f(0,0)=0$。
提示：注意极限存在且分母趋于0时分子必趋于0
步骤 2/5
目标：步骤2：写出f(x,y)的局部表达式
由极限定义，存在$\alpha>0$使得$\frac{f(x,y)+3x-4y}{(x^2+y^2)^\alpha}=2+\varepsilon(x,y)$，其中$\varepsilon(x,y)\to0$当$(x,y)\to(0,0)$。因此$f(x,y)=-3x+4y+2(x^2+y^2)^\alpha+o((x^2+y^2)^\alpha)$。
公式：$$f(x,y) = -3x + 4y + 2(x^2+y^2)^\alpha + o((x^2+y^2)^\alpha)$$
提示：注意无穷小量o的写法
步骤 3/5
目标：步骤3：分析可微的条件
$f(x,y)$在$(0,0)$可微的充要条件是存在常数$A,B$使得$f(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(\sqrt{x^2+y^2})$。由步骤2，$f(0,0)=0$，线性部分为$-3x+4y$，余项为$2(x^2+y^2)^\alpha+o((x^2+y^2)^\alpha)$。可微要求余项是$\sqrt{x^2+y^2}$的高阶无穷小，即$(x^2+y^2)^\alpha=o(\sqrt{x^2+y^2})$，等价于$2\alpha>1$，即$\alpha>\frac12$。
公式：$$f(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(\sqrt{x^2+y^2})$$
提示：注意余项阶的比较，α>1/2
步骤 4/5
目标：步骤4：验证充要性
当$\alpha>\frac12$时，$(x^2+y^2)^\alpha$的阶数高于1，故$f(x,y)$可微。若$\alpha\le\frac12$，则$(x^2+y^2)^\alpha$的阶数不高于1，余项不是$\sqrt{x^2+y^2}$的高阶无穷小，因此不可微。
提示：注意阶数比较与可微定义的关系
步骤 5/5
目标：步骤5：得出答案
因此$f(x,y)$在$(0,0)$可微的充要条件是$\alpha>\frac12$，对应选项D。
提示：注意充要条件的推导
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