kaoyan1advanced 高等数学 第103题
📝 题目
### 第103题
二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）偏导数存在但不可微。 （D）可微．
祉估
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： $|f(x,y)|\leqslant x^{2}+y^{2}$，故$f(0,0)=0$且连续。 $\displaystyle f_x^{\prime}(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sin\frac{1}{\sqrt{x^{4}}}}{x}=0$，同理$f_y^{\prime}(0,0)=0$。 $\displaystyle \lim_{\rho\to0}\frac{|f(x,y)-0-0\cdot x-0\cdot y|}{\rho}\leqslant\lim_{\rho\to0}\frac{x^{2}+y^{2}}{\rho}=0$，可微。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：判断连续性
由于 $|f(x,y)| \leq x^2 + y^2$，且 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x^2+y^2) = 0$，由夹逼定理得 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$，因此函数在 $(0,0)$ 处连续。
公式：$$|f(x,y)| \leq x^2 + y^2$$
提示：注意夹逼定理的使用条件
步骤 2/4
目标：步骤2：计算偏导数
由定义：$f_x'(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{\sqrt{x^4}}}{x} = \lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x^2} = 0$。同理，$f_y'(0,0) = \lim_{y\to 0} \frac{f(0,y)-f(0,0)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2 \sin\frac{1}{\sqrt{y^2}}}{y} = \lim_{y\to 0} y \sin\frac{1}{|y|} = 0$。因此偏导数存在且均为0。
公式：$$f_x'(0,0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$$
提示：注意极限中sin项的有界性
步骤 3/4
目标：步骤3：判断可微性
考虑增量：$\Delta f = f(x,y) - f(0,0) - f_x'(0,0)x - f_y'(0,0)y = (x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^4+y^2}}$。令 $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$，则 $|\Delta f| \leq x^2+y^2 = \rho^2$，因此 $\lim_{\rho\to 0} \frac{|\Delta f|}{\rho} \leq \lim_{\rho\to 0} \frac{\rho^2}{\rho} = 0$。由可微定义，函数在 $(0,0)$ 处可微。
公式：$$\lim_{\rho\to 0} \frac{|\Delta f|}{\rho} = 0$$
提示：注意放缩时保持不等式方向正确
步骤 4/4
目标：步骤4：得出结论
函数在 $(0,0)$ 处连续、偏导数存在且可微，因此选项 D 正确。
提示：注意可微的判定条件
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