kaoyan1advanced 高等数学 第102题
📝 题目
### 第102题
设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义，且
$$ $\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+o(\rho),$ $$
其中 $\rho=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-x_{0}\right)^{2}}$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}-y\right)}{y}=$ （A）$a$ ． （B）$a+b$ ． （C） $2 a$ ． （D） $2 b$ ．
## 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 由全微分定义，$f_{y}^{\prime}(x_0,y_0)=b$。 $\displaystyle \lim_{y\to0}\frac{f(x_0,y_0+y)-f(x_0,y_0-y)}{y}=f_{y}^{\prime}(x_0,y_0)+f_{y}^{\prime}(x_0,y_0)=2b$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别已知条件
由题设，$\Delta z = f(x,y) - f(x_0,y_0) = a(x-x_0) + b(y-y_0) + o(\rho)$，其中 $\rho = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$。这表示 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，且 $f_x'(x_0,y_0)=a$，$f_y'(x_0,y_0)=b$。
公式：$$\Delta z = a(x-x_0) + b(y-y_0) + o(\rho)$$
提示：注意可微定义中线性部分与高阶无穷小
步骤 2/5
目标：分析所求极限
所求极限为 $\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+y) - f(x_0, y_0-y)}{y}$。注意到分子是 $f$ 在 $x=x_0$ 固定时，关于 $y$ 的对称差分。
公式：$$\lim_{y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+y) - f(x_0, y_0-y)}{y}$$
提示：注意对称差分与导数的关系
步骤 3/5
目标：利用偏导数定义
将极限改写为：
$$
\lim_{y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+y) - f(x_0, y_0)}{y} + \lim_{y \to 0} \frac{f(x_0, y_0) - f(x_0, y_0-y)}{y}.
$$
第一个极限正是 $f_y'(x_0,y_0)=b$；第二个极限中，令 $t = -y$，则当 $y \to 0$ 时 $t \to 0$，且
$$
\frac{f(x_0, y_0) - f(x_0, y_0-y)}{y} = \frac{f(x_0, y_0) - f(x_0, y_0+t)}{-t} = \frac{f(x_0, y_0+t) - f(x_0, y_0)}{t},
$$
其极限也为 $f_y'(x_0,y_0)=b$。
公式：$$\lim_{y \to 0} \frac{f(x_0, y_0+y) - f(x_0, y_0)}{y} = f'_y(x_0, y_0)$$
提示：注意变量替换时符号变化
步骤 4/5
目标：计算极限
因此，原极限 $= b + b = 2b$。
提示：注意极限的线性性质
步骤 5/5
目标：选择答案
对应选项为 (D) $2b$。
提示：注意全微分的定义与偏导数的关系
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