kaoyan1advanced 高等数学 第101题
📝 题目
### 第101题
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0, \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则 $L$ （A）平行于 $\Pi$ ． （B）在 $\Pi$ 上． （C）垂直于 $\Pi$ ． （D）与 $\Pi$ 斜交．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 直线方向向量$\boldsymbol{s}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&3&2\\2&-1&-10\end{vmatrix}=(-28,14,-7)$，平面法向量$\boldsymbol{n}=(4,-2,1)$。 $\boldsymbol{s}=-7(4,-2,1)=-7\boldsymbol{n}$，故$L$垂直于$\Pi$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求直线L的方向向量
直线L由两个平面方程联立给出，其方向向量$\boldsymbol{s}$等于两平面法向量的叉积。两平面的法向量分别为$\boldsymbol{n}_1=(1,3,2)$和$\boldsymbol{n}_2=(2,-1,-10)$。计算叉积：
$$\boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&3&2\\2&-1&-10\end{vmatrix}=\boldsymbol{i}\begin{vmatrix}3&2\\-1&-10\end{vmatrix}-\boldsymbol{j}\begin{vmatrix}1&2\\2&-10\end{vmatrix}+\boldsymbol{k}\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}$$
$$=(-30+2)\boldsymbol{i}-(-10-4)\boldsymbol{j}+(-1-6)\boldsymbol{k}=(-28,14,-7)$$
公式：$$\boldsymbol{s} = \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2 = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & -10 \end{vmatrix}$$
提示：叉积计算时注意符号和行列式展开
步骤 2/5
目标：求平面Π的法向量
平面Π的方程为$4x-2y+z-2=0$，其法向量$\boldsymbol{n}$为系数组成的向量：
$$\boldsymbol{n}=(4,-2,1)$$
公式：$$\boldsymbol{n}=(4,-2,1)$$
提示：法向量由平面方程系数直接得出
步骤 3/5
目标：比较方向向量与法向量的关系
观察直线方向向量$\boldsymbol{s}=(-28,14,-7)$与平面法向量$\boldsymbol{n}=(4,-2,1)$的关系：
$$\boldsymbol{s}=-7(4,-2,1)=-7\boldsymbol{n}$$
因此$\boldsymbol{s}$与$\boldsymbol{n}$平行（共线）。
公式：$$\boldsymbol{s} = -7\boldsymbol{n}$$
提示：注意方向向量与法向量平行时直线与平面垂直
步骤 4/5
目标：判断直线与平面的位置关系
由于直线方向向量与平面法向量平行，说明直线垂直于平面。即直线L与平面Π垂直。
提示：注意直线方向向量与平面法向量平行时直线垂直于平面
步骤 5/5
目标：得出最终答案
根据以上分析，直线L垂直于平面Π，对应选项C。
提示：注意直线方向向量与平面法向量平行时直线垂直于平面
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。