📋 详细解题步骤
目标：分离积分变量
原积分可化为两个独立积分的乘积：
$$\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} \mathrm{d}x \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) \mathrm{d}y = \left(\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} x \mathrm{d}x\right) \left(\int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y\right)$$
公式：$$\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} \mathrm{d}x \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) \mathrm{d}y = \left(\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} x \mathrm{d}x\right) \left(\int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y\right)$$
提示：注意积分限与变量对应，分离时确保被积函数可分解
目标：计算第一个积分
计算关于$x$的积分：
$$\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} x \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\pi}\right)^2 = \frac{2}{\pi^2}$$
公式：$$\int_{0}^{a} x \, dx = \frac{1}{2}a^2$$
提示：注意积分限代入时平方计算
目标：利用已知条件建立方程
由题设，原积分值为1，代入得：
$$\frac{2}{\pi^2} \cdot \int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y = 1$$
解得：
$$\int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{2}$$
公式：$$\frac{2}{\pi^2} \cdot \int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y = 1$$
提示：注意积分顺序和常数提取
目标：利用对称性转化所求积分
注意到$\sin y$在$[0,\pi]$上关于$y=\frac{\pi}{2}$对称，且$\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$，因此：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) \mathrm{d}x$$
令$t = \frac{\pi}{2} - x$，则$\mathrm{d}t = -\mathrm{d}x$，积分限变为$t$从$\frac{\pi}{2}$到$0$，交换上下限得：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{d}t$$
由对称性，$\int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin y) \mathrm{d}y$，故：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin y) \mathrm{d}y = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
公式：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d}x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) \mathrm{d}t$$
提示：注意换元时积分限的变化
目标：得出答案
所求积分的值为$\frac{\pi^2}{4}$，对应选项（D）。
公式：$$\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} dx \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) dy = \frac{\pi^2}{4}$$
提示：注意积分次序和变量范围