kaoyan1advanced 高等数学 第112题
📝 题目
### 第112题
设区域 $D$ 是 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一、四象限的部分，$f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则二重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-1}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $2 \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 区域$D$为$x^{2}+y^{2}\leq1$中$y\in[-1,1]$且$x\geq0$的部分，极坐标下$\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，$r\in[0,1]$，对应D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：分析区域D的几何特征
区域D是圆盘$x^2+y^2\leq 1$在第一、四象限的部分，即$x\geq 0$且$y\in[-1,1]$。在直角坐标系中，$x$的范围是$0\leq x\leq 1$，$y$的范围是$-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2}$。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{0}^{1} dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) \, dy$$
提示：注意区域仅包含第一、四象限，x非负
步骤 2/6
目标：步骤2：检查选项A
选项A：$\int_0^1 dx \int_{-1}^1 f(x,y) dy$。积分区域为$x\in[0,1]$，$y\in[-1,1]$，这是一个矩形区域，而实际区域是半圆，因此错误。
提示：注意积分区域形状，矩形与半圆不同
步骤 3/6
目标：步骤3：检查选项B
选项B：$\int_{-1}^1 dy \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) dx$。积分区域为$y\in[-1,1]$，$x\in[0,\sqrt{1-y^2}]$，这正是半圆区域，但注意$y$从-1到1，$x$从0到$\sqrt{1-y^2}$，与区域D一致，因此B正确？但需检查其他选项。
提示：注意积分限对应区域范围
步骤 4/6
目标：步骤4：检查选项C
选项C：$2\int_{-1}^1 dx \int_1^{\sqrt{1-x^2}} f(x,y) dy$。积分限中$y$的下限为1，上限为$\sqrt{1-x^2}$，但$\sqrt{1-x^2}\leq 1$，因此积分区间无效，错误。
提示：注意积分上下限的大小关系
步骤 5/6
目标：步骤5：检查选项D
选项D：$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^1 f(r,\theta) dr$。极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，区域D对应$\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$，$r\in[0,1]$，且$dxdy=rdrd\theta$，但被积函数中缺少$r$因子，因此D错误。
公式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$$
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式r
步骤 6/6
目标：步骤6：确定正确答案
选项B正确描述了区域D的积分次序，因此答案为B。但原题答案给出D，需注意极坐标下正确形式应为$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^1 f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$，而D中写为$f(r,\theta)$，可能表示极坐标下的函数，但通常$f(r,\theta)$隐含了$r$因子？实际上，若$f(r,\theta)$理解为$f(r\cos\theta, r\sin\theta)$，则D缺少$r$，故错误。因此正确答案是B。
提示：极坐标下积分需注意r因子
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