kaoyan1advanced 高等数学 第113题
📝 题目
### 第113题
设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第二象限内的点 $M$ 和第四象限内的点 $N . T$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{T} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．
伻估
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：在曲线$L$上，$f(x,y)=1$，故$\int_T f(x,y)ds = \int_T ds >0$，排除(C)。 步骤2：$\int_T f(x,y)dx = \int_T dx$，从第二象限到第四象限，$x$先减小后增大，积分值可能为零或正，排除(A)。 步骤3：$\int_T f(x,y)dy = \int_T dy$，从第二象限（$y>0$）到第四象限（$y<0$），$y$单调递减，故积分值为负。 步骤4：$\int_T f_x'dx+f_y'dy = \int_T df = f(N)-f(M)=1-1=0$，排除(D)。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用曲线方程简化被积函数
在曲线 $L$ 上，$f(x,y)=1$，因此所有积分中的 $f(x,y)$ 可替换为1。
提示：注意曲线方程仅在积分路径上成立
步骤 2/6
目标：分析选项(C)
对于选项(C)：$\int_T f(x,y) \mathrm{d}s = \int_T 1 \cdot \mathrm{d}s = \int_T \mathrm{d}s$，表示弧长，恒为正，故排除(C)。
提示：弧长积分恒为正，不能为零
步骤 3/6
目标：分析选项(A)
对于选项(A)：$\int_T f(x,y) \mathrm{d}x = \int_T \mathrm{d}x$。点 $M$ 在第二象限，点 $N$ 在第四象限，弧 $T$ 从 $M$ 到 $N$，$x$ 坐标先减小后增大（可能经过极值点），因此 $\int_T \mathrm{d}x$ 可能为零或正，不一定小于零，排除(A)。
提示：注意积分路径的x坐标变化
步骤 4/6
目标：分析选项(B)
对于选项(B)：$\int_T f(x,y) \mathrm{d}y = \int_T \mathrm{d}y$。点 $M$ 在第二象限（$y>0$），点 $N$ 在第四象限（$y<0$），且弧 $T$ 连续，$y$ 从正到负单调递减，因此 $\int_T \mathrm{d}y = y(N)-y(M) < 0$，故选项(B)小于零。
提示：注意积分上下限与y的单调性
步骤 5/6
目标：分析选项(D)
对于选项(D)：$\int_T f_x'(x,y) \mathrm{d}x + f_y'(x,y) \mathrm{d}y = \int_T \mathrm{d}f = f(N)-f(M)$。由于 $f(x,y)=1$ 在 $L$ 上恒成立，故 $f(N)=f(M)=1$，积分值为0，排除(D)。
公式：$$\int_T f_x'(x,y) \mathrm{d}x + f_y'(x,y) \mathrm{d}y = \int_T \mathrm{d}f = f(N)-f(M)$$
提示：注意曲线上的函数值恒为常数
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上分析，只有选项(B)的积分小于零，因此答案为(B)。
提示：注意积分路径方向与象限符号
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