kaoyan1advanced 高等数学 第114题
📝 题目
### 第114题
设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1$（按逆时针方向绕行），$I=\int_{L} x y^{3} \mathrm{~d} y-y x^{2} \mathrm{~d} x, J=\int_{L} y x^{4} \mathrm{~d} x+x y^{4} \mathrm{~d} y$ ， $K=\int_{L} x y^{3} \mathrm{~d} y+y x^{2} \mathrm{~d} x$ ，则 （A）$I 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 镉佔
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：利用格林公式，$I=\iint_D (y^3 - (-y))dxdy = \iint_D (y^3+y)dxdy$，由对称性$y^3$积分为0，$y$为奇函数，故$I=0$。 步骤2：$J=\iint_D (y^4 - x^4)dxdy$，由对称性$x^4$与$y^4$积分相等，故$J=0$。 步骤3：$K=\iint_D (y^3 - y)dxdy$，被积函数$y^3-y$为奇函数，积分区域对称，故$K=0$。 步骤4：重新计算：$I=\iint_D (y^3+y)dxdy$，$y$为奇函数，$y^3$为奇函数，故$I=0$；$J=\iint_D (y^4-x^4)dxdy=0$；$K=\iint_D (y^3-y)dxdy=0$。比较大小需用具体值：令$D$为单位圆，$I=0$，$J=0$，$K=0$，但选项需排序，实际计算$I=\int_L xy^3dy-yx^2dx$，用参数化：$x=\cos\theta, y=\sin\theta$，$I=\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin^3\theta\cos\theta - \sin\theta\cos^2\theta(-\sin\theta))d\theta = \int_0^{2\pi} (\cos^2\theta\sin^3\theta + \sin^2\theta\cos^2\theta)d\theta$，非零。正确计算：$I=\int_0^{2\pi} (\cos^2\theta\sin^3\theta + \sin^2\theta\cos^2\theta)d\theta = \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\sin^2\theta(\sin\theta+1)d\theta$，由对称性$\sin\theta$项积分为0，$\displaystyle \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\sin^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4}>0$，故$I>0$；$J=\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin^4\theta(-\sin\theta) + \cos\theta\sin^4\theta\cos\theta)d\theta = \int_0^{2\pi} (-\cos\theta\sin^5\theta + \cos^2\theta\sin^4\theta)d\theta$，$\cos\theta\sin^5\theta$为奇函数积分为0，$\cos^2\theta\sin^4\theta>0$，故$J>0$；$K=\int_0^{2\pi} (\cos\theta\sin^3\theta\cos\theta + \sin\theta\cos^2\theta(-\sin\theta))d\theta = \int_0^{2\pi} (\cos^2\theta\sin^3\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta)d\theta = \int_0^{2\pi} \cos^2\theta\sin^2\theta(\sin\theta-1)d\theta$，$\sin\theta$项积分为0，剩余$-\cos^2\theta\sin^2\theta$积分为$\displaystyle -\frac{\pi}{4}<0$，故$K<0$。因此$K<0