kaoyan1advanced 高等数学 第6题
📝 题目
### 第6题
已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^{4}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{6}$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^4}=1$，且$\displaystyle x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$，故$f(x)$需抵消$\displaystyle \frac{x^3}{6}$项并产生$x^4$项。 步骤2：设$\displaystyle f(x)=-\frac{x^3}{6} + ax^4 + o(x^4)$，则$\displaystyle x-\sin x+f(x) \sim \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} + ax^4 = ax^4$，由极限为1得$a=1$。 步骤3：故$\displaystyle f(x) \sim -\frac{x^3}{6} + x^4$，则$\displaystyle \frac{x^3}{f(x)} \sim \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + x^4} = \frac{1}{-\frac{1}{6} + x} \to -6$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知极限并确定f(x)的阶数
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x + f(x)}{x^4} = 1$。由于 $x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$（当 $x \to 0$ 时），为使极限存在且为1，$f(x)$ 必须抵消 $\frac{x^3}{6}$ 项，并产生 $x^4$ 项。因此 $f(x)$ 的展开式应包含 $-\frac{x^3}{6}$ 项和 $x^4$ 项。
公式：$$x - \sin x \sim \frac{x^3}{6} \quad (x \to 0)$$
提示：注意f(x)需抵消x^3项并引入x^4项
步骤 2/4
目标：设f(x)的展开式并代入极限
设 $f(x) = -\frac{x^3}{6} + a x^4 + o(x^4)$，其中 $a$ 为待定常数。代入分子：$x - \sin x + f(x) = \left(\frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) + \left(-\frac{x^3}{6} + a x^4 + o(x^4)\right) = a x^4 + o(x^4)$。
公式：$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$
提示：注意sinx展开到x^3项，与f(x)的x^3项抵消
步骤 3/4
目标：利用极限值确定常数a
由极限条件：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a x^4 + o(x^4)}{x^4} = a = 1$，所以 $a = 1$。因此 $f(x) = -\frac{x^3}{6} + x^4 + o(x^4)$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{a x^4 + o(x^4)}{x^4} = a = 1$$
提示：注意展开到同阶无穷小
步骤 4/4
目标：计算所求极限
所求极限为 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + x^4 + o(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-\frac{1}{6} + x + o(x)} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + x^4 + o(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-\frac{1}{6} + x + o(x)} = -6$$
提示：注意分母展开后保留最低阶项
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