kaoyan1advanced 高等数学 第7题
📝 题目
### 第7题
\quad $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left|1-2+3-\cdots+(-1)^{n+1} n\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：考虑和式$S_n = 1-2+3-\cdots+(-1)^{n+1}n$。当$n$为偶数时，$\displaystyle S_n = (1-2)+(3-4)+\cdots+((n-1)-n) = -\frac{n}{2}$；当$n$为奇数时，$\displaystyle S_n = 1+(-2+3)+(-4+5)+\cdots+(-(n-1)+n) = \frac{n+1}{2}$。 步骤2：因此$\displaystyle |S_n| = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n\text{为偶数} \\ \frac{n+1}{2}, & n\text{为奇数} \end{cases}$。 步骤3：所求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} |S_n| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{2} = \frac{1}{2}$（或$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{1}{2}$）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：步骤1：分析交错和式
考虑和式 $S_n = 1-2+3-\cdots+(-1)^{n+1}n$。当 $n$ 为偶数时，$S_n = (1-2)+(3-4)+\cdots+((n-1)-n) = -\frac{n}{2}$；当 $n$ 为奇数时，$S_n = 1+(-2+3)+(-4+5)+\cdots+(-(n-1)+n) = \frac{n+1}{2}$。
公式：$$S_n = \begin{cases} -\frac{n}{2}, & n \text{为偶数} \\ \frac{n+1}{2}, & n \text{为奇数} \end{cases}$$
提示：注意n的奇偶性导致和式结果不同
步骤 2/5
目标：步骤2：求绝对值表达式
因此 $|S_n| = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n\text{为偶数} \\ \frac{n+1}{2}, & n\text{为奇数} \end{cases}$。
公式：$$|S_n| = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n\text{为偶数} \\ \frac{n+1}{2}, & n\text{为奇数} \end{cases}$$
提示：注意奇偶性对求和结果的影响
步骤 3/5
目标：步骤3：代入极限并化简
所求极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} |S_n|$。当 $n$ 为偶数时，$\frac{1}{n} |S_n| = \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{2} = \frac{1}{2}$；当 $n$ 为奇数时，$\frac{1}{n} |S_n| = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} |S_n| = \begin{cases} \frac{1}{2}, & n\text{为偶数} \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}, & n\text{为奇数} \end{cases}$$
提示：注意奇偶性对极限的影响
步骤 4/5
目标：步骤4：取极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \to \frac{1}{2}$。因此无论 $n$ 的奇偶性，极限均为 $\frac{1}{2}$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \left| 1-2+3-\cdots+(-1)^{n+1}n \right| = \frac{1}{2}$$
提示：注意奇偶性讨论，极限相同
步骤 5/5
目标：答案
$\displaystyle \frac{1}{2}$
公式：$$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} k = \frac{1-(-1)^n (2n+1)}{4}$$
提示：注意符号交替求和公式的推导
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