kaoyan1advanced 高等数学 第8题
📝 题目
### 第8题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{3}+1^{2}}+\frac{2 n}{n^{3}+2^{2}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{kn}{n^3+k^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n^2}}$。 步骤2：注意到$\displaystyle \frac{1}{1+\frac{k^2}{n^3}} \to 1$，故原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将求和式写成通项形式
原式 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^3+1^2} + \frac{2n}{n^3+2^2} + \cdots + \frac{n^2}{n^3+n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{kn}{n^3+k^2}$
公式：$$\sum_{k=1}^{n} \frac{kn}{n^3+k^2}$$
提示：注意通项中k从1到n，分子为kn
步骤 2/6
目标：提取因子并变形
将通项变形：$\displaystyle \frac{kn}{n^3+k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k^2}{n^3}}$，因此原式 $\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k^2}{n^3}}$
公式：$$\frac{kn}{n^3+k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k^2}{n^3}}$$
提示：注意提取因子1/n，凑出定积分形式
步骤 3/6
目标：分析极限中的因子
当 $n \to \infty$ 时，$\displaystyle \frac{k^2}{n^3} \to 0$，因为 $k \leq n$，所以 $\displaystyle \frac{1}{1+\frac{k^2}{n^3}} \to 1$。因此原式 $\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n}$
公式：$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n}$$
提示：注意分母中n^3与k^2的关系
步骤 4/6
目标：转化为定积分
根据定积分的定义，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} = \int_0^1 x \, dx$
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
提示：注意将通项化为标准形式
步骤 5/6
目标：计算定积分
$\displaystyle \int_0^1 x \, dx = \left. \frac{1}{2} x^2 \right|_0^1 = \frac{1}{2}$
公式：$$\int_0^1 x \, dx = \left. \frac{1}{2} x^2 \right|_0^1 = \frac{1}{2}$$
提示：注意积分上下限代入计算
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，原极限的值为 $\displaystyle \frac{1}{2}$
公式：$$\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3+k^2} \sim \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n \frac{2k}{n^2} \to \frac{1}{2}$$
提示：注意放缩时保持等价无穷小
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